|
| |
|
Слаботочка Книги Поскольку нужно определить 3 свободных параметра, то, вообще говоря, можно решить лишь первые три уравнения, из которых получаем С1 = сз = 1/3, С2 = 4/3. В данном конкретном случае четвертое уравнение вьшо.пнено автоматически и мы получаем квадратуру, точную для многоч.пенов третьей степени, называемую формулой Симпсона. Вообще говоря, требуется вычислять интегралы не по отрезку [-1, 1], а по произвольным отрезкам [а, Ь]. Переход к отрезку [-1, 1] удобен тем, что для него арифметические выкладки, выполняемые при построении квадратуры, оказываются короче. Иногда оказывается, что подынтегральная функция хорошо приближается не многотаеиами, а так называемыми обобщенными многочленами, Т.е. линейными комбинациями вида bjipj{x), где (ж) - какие-то кон- кретные линейно независимые функции. Тогда методом неопределенных коэффициентов строится квадратура, точная для функций такого вида. Наиболее часто такие квадратуры используются в случае, когда /(ж) хорошо приб.пижается функциями, представленными в виде произведения некоторой фиксированной функции р{х) на гогочлен, т.е. фзшкциями вида Yajpix)x. i=0 является линейным функционалом, и при / = оуж имеем Таким образом, нужно добиться выполнения равенств R{1) = О, ..., Я(.х) = О при возможно большем значении I. Получаем уравнения R{1) = 2 - (ci + С2 + Сз) - О, R{x) = О - (-С1 + сз) = О, Д(а;2) = -(с1+сз) = 0, i?(a-3) = О - (С1 + Сз) = О, В этом случае функцию р{х) называют весом или весовой функцией, полагают = f{x)/p{x) и исходный интеграл записывают в виде р{х)р{х)(1х. (2) У а Задача построения квад])атуры ь /(з;)с1;г W Cjfixj), точной для всех функций вида р(ж)Р ,(ж), где (ж) ~ многочлен степени т, заменяется задачей построения квадратуры \\x)p{x)dxJ2CjF(:x,), точной для всех многочленов степени т. В случае, когда все p{xj) отличны от нуля и бесконечности, эти задачи эквивалентны. В дальнейшем подынтегральную функцию в таких интегралах будем обозначать как f{x)p{x). Перейдем к оценке погрешности квадратурных формул. § 2. Оценки погрешности квадратуры Пусть вычисляется интеграл (1.2). Если квадратура точна для многочленов Рт{х) степени т, то R{Prn) = 1{Р,п) - S{Prn) = о, поэтому Щ.П = Rif - Рш) + R{Prn) - Р.(/ - Ргп) при любом многошене Рт(ж) степени т. Оценивс1.я в R{y) кажд(е слагаемое, получим оценку \R{9)\ < / Ых)\ \р{х)\ dx + J2 \Cj\ \9ix:i)\ Vsnp .g(x Ja j, [a,b] V= f \p{x)\dx + J2\C. Поэтому д(/ЖР(/-р 011 -Ртос при любом P,n - многочлене степени m; здесь \\S -Pm\\c = snv\fix)-Pn{x)\. {а,Ь] 7(1)=: l\{x)dx = S{l) = Y.,. При р{х) > О и С,- О имеем ЁС, = ЁС,=: f pix)dx, поэтому F = 2/ p{x)dx. Обращаясь к (1), получим оценки \RU)\ < 2 dx EM 2 Qpix) dx II/ - P, c, где P, - любой многочлен степени т. Если в качестве P j взят интерпо-.пяционный многоч.пен по ну.пям многоч.пепа Чебышева, то на основании (2.9.3) имеем В конкретном случае для веса р(х) = 1 и формул прямоугольников, трапеций, Симпсона, где все Cj О, имеем V ~ 2(Ь ~ а) и В частных случаях, например для форму.п прямоугольников и трапеций, где m = 1, отсюда имеем тЛ\ 411/ 11с; для формулы Симпсона, где m = 3, имеем * Взяв в правой части нижнюю грань по всем многочленам степени т, получим оценку \ЩЛ\ VE,M% (1) = ш£./-Р с. Построенные выше простейшие квсщратурные формулы и ряд более сложных квадратур удовлетворяют условию Су О, если р{х) > 0; в рассмотренных нами примерах р{х) = 1. Условие, что квадратура точна для многочлена нулевой степени, т.е. для функции / = 1, имеет вид 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [28] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |