|
| |
|
Слаботочка Книги Эти оценки одинаковы для всех квадратур, точных для многочленов какой-то определенной степени, например для формул трапеций и прямоугольников. Можно по.пучить и более точные оценки погрешности этих квадратур. Опишем универсальный способ получения наиболее точных оценок. В качестве Р, (х) возьмем сумму первых т + 1 членов разложе1шя функции /(.т) по формуле Тейлора в какой-либо точке .го отрезка [о, Ь]. Для определенности возьмем .то = о и рассмотрим случай, когда все £ [а, Ь]. Пусть Pmii) - такая сумма, -, (ж) -ее остаточный член: /(.т) = Р .(.7;)+/-, И. Р1меем равенство R{f) = В.{г ,{х}) = 1{г,4х)) ~ CjT,n{xj). Остаточный член формулы Тейлора возьмем в интегральной форме: В двукратном рнггеграле /(-..(ж)) = 1У(х) Qtf( +)it)d?j dx сделаем интегрирование по t внешним, а по х - внутренним. Получим 1{г.п{х)) = lK,n{t)f +4t)dt, Km{t)= / р{хГ , dx. Таким образом, получим Ja - Ja т. Положим Xj - t при а t Xj, О при остальных t. Используя это обозначение, представим погрешность R{f) в виде Д(Л = j\t:)f4t) dt, Q{t) = K ,{f) - J2 (3) тЛкЦ \Qit)\dt]lf +M\c (4) Если Q[\) не меняет знака на отрезке [а, Ь], то по теореме о среднем из (3) папучаем \Rm={jQ{t)dA\r\i). aih. (5) Далее для простоты положим р{х) = 1. Задача!. Предположим, что в качестве Pmix) берется сумма (т + 1)-го члена разложения функции f{x) в ряд Тейлора относительно произвольной точки Жо ф а. Доказать, что представление погрешности (3) при этом не изменится. Задача 2. Пусть точка о фиксирована, f \x) непрерывна в точке ,. Доказать, что при b а, Cj = 0(6 - а) / Q{t)dt = 0{{b-a) +), R{f) = (£q(<) d /( +i( ) + o{{b- аГ+) . где Q{t) определено в (3). Рассмотрим для примера формулу трапеций. Тогда {x-t)dt = е(0 = -(6-.) = ( -0(-0<0; подставляя Q{t) в (5), тюлучим {b-af ад = -.г(4). в случае формулы прямоугольников подставляя Q{t) в (5), получим Отсюда следует оценка погрешности Часто на практике интересуются не оценкой погрешности (5), которая не поддается улучшению, а ее главным (при (Ь - а) 0) членом /(-+)(a)/Q(<)di. Если для некоторого т оказалось, что соответствуюгций интеграл I Q{t)dt равен нулю, то это значит, что квадратура точна для многочленов степени т+1. В этом случае надо увеличить тп па 1 и провести аналогичные рассуждения для этого нового значения т. Для вычисления главного члена погрешности можно поступить следующим образом. Представим /(ж) в виде суммы первых (т + 2)-х членов разложения Тейлора относительно некоторой точки xq € [a,b] и остаточного члена; при этом, объединив первые m -f 1 слагаемых в многочлен степени т, полутам fix) = т{х) + + -+1(0, 2?о(-) = Е .fx.), Г ,+, (ж) = о [{х ~ XoУ) . гг=0 Вследствие линейности функционала погрешности имеем равенство R{f) = i?.(T-(x)) -f -[yR {{x - xo)-+) + Д(г +1(ж)). Первое сшагаемое обращается в нуль, так как квадратура точна для многочленов степени т. Поскольку \R{rrn+dx))\ < Fr ,+ic = о ((6 - а)-+2) (при ус7ювии, что V < ос), то -Ру-7?((.-.го) ) является главным членом погрешности R{f). Для простоты выкладок при конкретном вычислении R. ((х - xq) ) часто удобно произвести замену переменных х = {а + Ь)/2 + Ы, h = {b~ а)/2, и рассматривать разложение в ряд Тейлора относительно тожи t = 0. Задача 3. Проверить, что -R{{x~xo)-)=£Q{t)dt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [29] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |