|
| |
|
Слаботочка Книги Задача 4. Доказать, что R [{х - хо) ) не зависит от выбора xq. В частном случае для формулы трапеций имеем R{x - af = - lib - af = --{b- af, поэтому погрешность R{f) с точностью до членов высшего порядка имеет вид R{f)--~{b-a)f ia). § 3. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса Рассмотренные далее квадратуры относятся к большой группе квадратурных формул, полученных с помощью интегрирования интерполяционного многочлена и объединенных под одним названием - квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Зададимся некоторыми rii,..., ri G [-1, 1] и построим интерполяционный многочлен Ln{x) степени п-1, совпадаю1п,ий , а + Ь Ь - а с jyx) в точках Xj = ----1----dj. Положим гЬ rb 1 .f {х}р{х) dx к J Ln{x)p[x)dx. Имеем МЛ = г f{x)p{x)dx - [ Lnix)p{x)dx = fp{x){f{x) - Ln[x))dx. Ja Ja Ja Разность f{x) - Ln{x) оценим, воспользовавшись оценкой погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа - Ln{x)\ fmax /Н() ) ЬМ, \{а,Ь] J П\ те uJnix) = (ж - xi)... (ж - Хп). Отсюда \RM)\ max [a,b] (ж) Ш\ Произведем в последнем интеграле замену переменных, положив ж = а + Ь Ь - а (*) = + -;r-t- Тогда n\Ja ujn(x)p{x) dx = D(di,dn) uit) = {t-dx)...it- dn), p(t) = p + . Таким образом, справедлива оценка Didu..., dn) (max . (1) Пусть все d.j различны. Тогда После замены переменных х = X{t) получим j\{x)Ln{x)dx = {- JZDjfi где шная квадратурная с] jj{x)p[x)dx-:±D,f( (2) (3) + -d,). (4) Таким образом, построенная квадратурная формула имеет вид . + Ь . Ъ - а Как и при численном дифференцировании, можно обнаружить следующие обстоятельства: если задача имеет определенную симметрию, то метод с симметрией того же типа часто обладает дополнительными преимуществами . Будем называть функцию четной относительно точки xq, если /(ж - Жо) = /(жо - ж), и нечетной, если /(ж - жо) = -Цхо ~ х). Можно показать, что для весовой функции р{х), четной относительно середины отрезка [а, Ь], и узлов Xj, расположенных симметрично середины отрезка, т.е. dj = -d +i-j, коэффигщенты квадратуры, соответствующие симметричным узлам, равны между собой: D,=Dn+i-j. (5) (Доказать!) Такие симметричные квадратуры обладают следующим дополнительным свойством, которое, формально говоря, не предусматривалось при их построении. Они точны для любой функции, нечетной относительно середины отрезка [а, Ь], т. е. удовлетворяющей условию rf a + b\ Ja + b \ \--2~ / ~ ~ V -2-- / самом деле, для таких функций D = J \t\dt = l. Di= j 1 di = 2 и имеем квадратурную формулу fix)dxib~a)f() (С) с оценкой остаточного ч.пена ад = тах/(ж). 2. Формула прямоугольников как формула с кратным узлом. Пусть п = 2, di = d2 = 0. Тогда а + Ь l\2{x)dx = {b-a)f ()- 1 р{х) f {х) dx = Q вследствие четности р(х), а Djf{xj) = О вследствие (5); поэтому и Rn{f) = 0. В частности, квадратуры будут точны для X--~- j . Свойство симметрии (5) помогает также при непосредственном построении формул методом ие-определенньгх коэффициентов. Рассмотрим теперь симметричную квадратуру, соответствующую нечетному п. Она точна для /(ж) = const -- и, со1ласно построению, точна и для любого многочлена степени п -1. Следовательно, такая квадратура будет точна и для любого многочлена степени п. Таким образом, построенные квадратуры с 2q-1 и 2 узлами, с симметричным расположением узлов оказываются точными для многочленов одинаковой степени 2д - 1 (для квадратур Гаусса (см. § 5) эта степень выше). Чтобы получить уточненную оценку погрешности квадратур с нечетным шслом узлов не через f\x}, а через / (ж), следует заменить подынтегральную с)ункцию интерполяционным многочленом Лагранжа, имеющим точку (о, + Ь)/2 двукратным узлом интерполирования. Ниже для случая р{х) = I строится ряд элементарных квадратурных формул и дается оценка их погрешности; при п = 1 и п = 3 для симметричных формул производится оценка погрешности через / (ж). 1. Формула прямоугольников. Пусть п = 1, di = 0. Тогда 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [30] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |