|
| |
|
Слаботочка Книги Таким образом, имеем ту же квадратурную формулу с оценкой остаточного члена ад = .рх/ (.). В обоих случаях получилась одна и та же квадратурная формула, но с различной оценкой остаточного члена. 3. Формула трапеций. Пусть п = 2, di = - 1, da = 1- Тогда r-i u2 .] z 3 Получена формула трапеций -b fix) dx {b-a), -{fia)+fib)) с оценкой остаточного члена ВД = тах/ (.т)(Ц. 4. Формула Симпсона. Пусть п = 4, di = - 1, d-z = d = О, da = I. Тогда Согласно формуле интерполирования с кратными узлами, можем написать, что Liix) = L-iix) + f (а; b\ (ж - а)(ж - Ь)(х- Ых) = fia) + /(а; 6)(ж - а) + /(а; 6; ) (ж - а)(.г- - Ь). Второе слагаемое в выражении 4(0;) является функцией, нечетной относительно середины отрезка [а, Ь], поэтому гЬ гЬ I L/,ix)dx = / Lix)dx. Ja J а Многочлен L-iix) является интерполяционным многочленом второй степени, соответствующим di = -1, d2 = О, ds = 1 (рис. 3.3.1). Этим значениям di, da, da соответствуют = 1/3, a+b 2 Рис. 3.3.1 6 , оценкой остаточного члена i?,(/)=max /№(ж) [а, 6] 2880 Основной целью настоящей главы является рассмотрение способов вычисления интегралов от фужций, заданных аналитическим выражением, и выработрса принципов построения стандартных программ интегрирования таких функций. Естественно, что кроме этих задач в теории квадратурных формул имеются и другие задачи, например связанные с обработкой экспериментального материала. Для примера обратим внимание на квадратурные формулы Чебышева, широко применявшиеся при подсчете водоизмещения судов. Постановка задачи, приведшая к построению этих квадратур, довольно близка к постановке задачи, возникающей при планировании экспериментов (см. гл. 2 § 1). Вычисляется ин- теграл j /(ж) dx, причем известно, что функция /(ж) с приемлемой точностью может быть приближена многочленом степени q. Получение каждого значения /(ж), например путем измерений, обходится довольно дорого, и получаемые значения содержат довольно большие случайные погрешности. Предположим, что погрешности измерений независимы, имеют одинаковую дисперсию d и математическое ожидание, равное нулю. Тогда дисперсия приближенного значения 5,i(/), вычисляемого по квадратурной формуле Д/) ад = Ёс,/(ж,), равна dc. Условие /(/) = 5 (/) при / = const имеет вид j=i Ее,-= 2. (9) Как нетрудно проверить, минимум величины d с при условии (9) достига- ется при ci = - = с = 2/п. Эти рассуждения привели к следующей постановке задачи: среди всех квадратур liDlJf, точных для многочленов степени q, найти квадратуру, соответствующую наименьшему п. При Q = О и g = 1 искомой будет квадратура прямоугольников /(/) = 2/(0); при g - 2 и g = 3 -квадратура Гаусса (см. § 5). D2 = 4/3, Di = 1/3. В результате получаем квадратурную формулу Симпсона fix) dx- (fia) + 4/ + f{b)) (8) § 4. Ортогональные многочлены решения ряда задач математической физики часто исследуют, отыскивая их разложения по ортогональным функциям, в частности по ортогональным многочленам. Наиболее подробно изучены ортогональные системы функций одной переменной. Из ортогональных систем функций многих переменных рассматривают, как правило, лишь системы вида VniCi) fiis-s), где (Рп{хк) - некоторые ортогональные многочлены одной переменной. Пусть Я - пространство комплекснозначных функций, определенных на [а, 6], с ограниченным интегралом \fix)\pix)dx; скалярное произведение задается равенством и, 9)= ff{x)9{x)p{)dx, (1) где (ж) - функция, комплексно сопряженная с 9{х); р>0 почти всюду на [а, Ь] и p{x)dx < оо; функции, отличающиеся друг от друга на множестве меры О, считаются равными. Система = {fi, , Рп} ненулевых элементов из Н называется ортогональной, если {(fi, (fj) = О при г Ф j. Система Ф = [ср ..., срп} называется линейно независимой, если только тогда, когда все Cj = 0. Важным аппаратом многих исследований является ортогонализация заданной системы элементов гильбертова пространства. Лемма 1. Пусть в пространстве Н задана линейно независимая система элементов Ф = {vi,..., п\- Тогда можно построить ортогональную линейно независимую систему Фп = {ii , Фп} элементов вида j = Е = 1 (2) где bjj = 1. Доказательство. Мы будем проводить построение такой системы методом индукции. При п = 1 имеем тривиальную систему Vi <Pi- Пусть требуемая система Ф построена при некотором п = к; тогда элемент Фк+г отыскиваем в виде фк+1 = Рк+1 - Е ОкгФг- (3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [31] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |