|
| |
|
Слаботочка Книги Коэффициенты ai выбираем из условия ортогональности (/t+i, Ф1) = О при I к. Вследствие ортогональности системы элементов Фд. последнее соотношение представится в виде откуда ifk+i, Ф1) - акАФи Фд = О, iPk+l, Фд (iki = следовательно, элемент {Ф1,Ф1) к , (V?fc-H, Фг) . будет ортогонален всем предшеству10ш,им. Подставляя в (3) при i : к, получим требуемое соотношение. Лемма доказана. Совокупность соотношений (2) при j можно представить в виде
и Ф,1 являются вектор-столбцами из соответствуюш,их элементов. В то же время, перенося все ф.1 из правой части (4) в левую, получим Ап =
матрицу Вп ршогда называют матрицей ортогонализации. Так как detJ5 = 1, то преобразование, задаваемое матрицей Вп-, является невырожденным и переводит линейно независимую С1даему элементов Ф.,1 в линейно независимую систему Ф . В силу линейной независимости системы функций Ф отсюда следует, что Вп = АгЧ При построении ортогональных многочленов в качестве элементов системы функций берутся функции I., х,..., х~ и производится ортогонализация в пространстве со скалярным произведением (1) по описанной выше процедуре. Получаемые многочлены ф,{х) = х>~ + 2Ьзгх- (6) 1=1 называют ортогональными многочленамм, соответствующими весу р{х) и отрезку [а, Ь]. Иногда ортогональными многочленами, соответствуюш,ими весу называют многочлены gj{x) = С1.уф{х), в которых величины aj подбирают из каких-либо дополнительных соображений, например из условия .gj = g-j) = 1- Систему ортогональных элементов, удовле- творяющих такому условию, называют ортонормированной. Мы уже имели дело с системой многочленов Чебышева Тп{х) = 2 -1.т + , ортогональных на отрезке [-1, 1] с весом 2/(ж\/1 - ж). Как oTMenajrocb, значения этих многочленов можно вычислять но рекуррентной формуле Tn+i{x) = 2хТп{х) - Т 1(ж). (7) Вьпшслеиие значений ортогональных многочленов Чебышева при помощи формулы (7) более предпочтительно по сравнению с непосредственным вычислением их по явной формуле (6) по следующим причинам. 1. Вычисление по формуле (7) не требует хранения в памяти или вычисления коэффициентов bji. 2. Обычно требуется вычислять одновременно значения всех многочленов ..., фп(х) в одной и той же точке. При независимом вычислении значения каждого многочлена по формуле (6) вычисление значений всех ьшогочленов потребует ~ ii? арифметических операций. ( Здесь и далее а{п) ~ Ь(п) означает, что а(п) и одного порядка, т.е. а(п) = 0(6(п)), Ь(п) = 0(а{п)). ) При одновременном вычислении всех значений при помощи рекуррентного соотношения (7) потребуется 0{п) арифметических операций. 3. Значения Т (ж), получаемые при непосредственном вычислении по формуле (6), могут содержать большую вычислительную погрешность. Дело заключается в следующем: пусть Т (а;) образуется как сумма слагаемых: T ix)=Y,dnixJ- (8) .7=0 При записи в машине эти слагаемые dnjx смогут приобрести абсолютную погрешность порядка \dnjx\2~. Следствием этого может быть погрешность значения Тп{х) порядка Ьп{х)2~*, где Dnix)==J2KiX. Оценим снизу D (a;). Из равенства где i - мнимая единица, следует оценка \Tn{\x\i)\J2\d jx\ = Dn{x). в то же время, согласно (2.8.4), при действительном х имеем T (ki) =--i Так как {\х\ + v/TTRF) - /ГТ№) = -1, то отсюда получаем (\х\ + /ГT№) - (\х\ + vTTRF) Таким образом, при больших п и ж О при непосредственном использовании формулы (8) вычислительная погрешность может достигать значений порядка {\х\ + vTT№) 2-. Задача 1. Доказать равенство Dnix) = \T X\x\i)\. Мы опять столкнулись здесь с явлением пропадания значащих цифр в вычислениях: Т (ж) 1, но при вычислении значения Т (ж) из (8) оно получается как сумма больших по модулю слагаемых переменного знака и поэтому приобретает большую погрешность. В то же время можно показааъ, что при вычислении по рекуррентной формуле (7) погрешность Гп(ж) имеет порядок minin, . 1 0(п2~*). Из изло- (. л/1 - ж2 J женного видна важность получения рекуррентных соотношений типа (7), связывающих значения ортогональных многочленов, соответствующих и другим весовым функциям р(х). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [32] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |