|
| |
|
Слаботочка Книги (10) {а + р + 2п){а + Р + 2П + 1){а + р + 2п + 2)а.Р,(°)(ж) = = 2{п + 1){а + р + п + 1){а + р + 2n)P f > (ж) + + [0 - а){а + /3 + 2п + 1)Р\х) + + 2{а + п)(р + п){а + р + 2п + 2)p/, f (ж); здесь Г - гамма-функция Эйлера. Многочлены Якоби удовлетворяют дифференциальному уравнению La, 0 (РА ()) = (1 - а;) (Р - (ж)) -Ь + ((/? - Q) - (а + /? + 2)ж) (Р° ) (ж)) = -п(а + ;3 -Ь п -Ь l)P/j (x). Иначе говоря, они являются собственными функциями дифференциального оператора La,р. Справедлива Теорема (без доказательства). Ортогональные многочлены Связаны соотношениями Фо+1 (ж) = (х + aj)Ф} (-?) - 1 [х), (9) где pj > 0. При Qn(x) = . ] вместо (9) имеем Dn+iQn+iix) = {2х + Gn)Qn{x) - D Qn-i{x). Если отрезок [а, Ь\ конечен, то известно, что £) -> 1, G -> О при п -> оо. Приведем наиболее употребительные системы ортогональных многочленов, соответствующие различным весовым функциям. 1. Многочлены Якоби. Для отрезка [-1, 1] и весовой функции р{х) = (1 - а;) (1 -1- х), о, > - 1, ортогональную систему образуют многочлены Якоби pi \x) = -{1 - х)- {1+хг£ ((1 - хг+ (1+-Л ). Имеют место соотношения Р( ,0)Ы ={ 2°++Г(а-Ьп + 1)Г( + п-Ц) \пКа + р + 2п + 1)Г{а + 13 + п + 1)) Unix) = (sm((n + 1) агссо8ж))/\/1 -2,2 = (ж)/(?г +1), ?г = О, 1,..., с нормой \\Un\\ - -nj. Рекуррбжтное соотношение для многочленов Чебьшева второго рода такое лее, как для многочленов Чебышева первого рода. 5. Многочлены Эрмита. При (а, Ь) = (-оо, оо) и р{х) = е* ортогональную систему образуют многочлены Эрмита с нормой Я = v2 -n!V, удовлетворяющие рекуррентному соотношению Hn+i{x) - 2хНп{х) + 2пЯ 1(ж) = 0. Многочлены Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению я; - 2жЯ; = -2?гЯ . 6. Многочлены Лагерра. При [а, Ь) = [О, оо) и р{х) = х е~-, а > -1, ортогональную систему образуют многочлены Лагерра dx с нормой = JnT(a + п + 1). Для них справедливо рекуррентное соотношение 4+1 () - (ж - а - 2п - 1)4 Ч*) + (а + )4-i(a-) = 0. 2. Многочлены Лежандра. Частным случаем многочленов Якоби при о = Р = 0, т.е. при весовой функции р{х) ~ 1, являются многочлвпы Лежандра С нормой = v/2/(2n + l), удовлетворяющие рекуррентному соотношению (п + l)L +i(2;) - (2п + 1).tL (j;) + nLn-i[x) =-- 0. 3. Многочлены Чебышева первого рода. При = /:( = -1/2, р{х) = l/Vl - многочлены Яхюби после перенормировки превращаются в многочлены Чебышева первого рода 4. Многочлены Чебьцпева второго рода. При а = Р = -1/2, = Vl - многочлены Якоби после перенормировки превращаются в многочлены Чебышева второго рода Многочлены Лагерра удовлетворяют дифференциальному уравнению x {l\x)) + [а + 1-х) {Ь\\х)) = -пЬ\\х). Рекуррентные соотношения для конкретных ортогональных многочленов, выписанные в пп. 2-5, имеют несколько иной вид, чем (9), поскольку соотношение (9) выписано для ортогональных многочленов, нормированных так, что их старший коэффициент равен 1. Отметим ряд свойств ортогональных многочленов. Пусть Ро(а-),..., Р (ж)-система ортогональных многочленов на отрезке [а, 6] вида 71-1 Лемма. Каждый многочлен Рп{х) нмеетп ровно п различных нулей на открытом интервале {а, Ь). Доказательство. Предположим, что Рп{х) имеет на (а, Ь) только / < п нулей Xi,...,xi нечетной кратности. Тогда многочлен Pnix)Ylix-Xj) не меняет знак на [а, Ь], поэтому rb I Pn{x)Y[{x-Xj)p{x)dxO. С другой стороны, этот интеграл равен нулю, поскольку Р ,(ж) ортогонален всем многочленам меньшей степени. Получили противоречие. Задача 2. Пусть жj < < - нули Рп(ж). Тогда нули многочленов Pn~i{x) и Рп{х) перемежаются, т.е. а < ж ) < ж; - < < xt~i < ж( ) < Ь. Это свойство ортогональных многочленов используется при составлении таблиц нулей ортогональных многочленов, являюш,ихся узлами квадратур Гаусса. Задача 3. Пусть вес является четной функцией относительно середины отрезка [а, Ь] и, для определенности, [а, Ь] = [-1, 1], т.е. р{х) = р{-х). Доказать, что все многочлены Р2п{х) четные, многочлены P2n-i(x) не- Р,(ж) = i-iyPj ii-iyx) при всех j, и рекуррентное соотношение (9) имеет вид Р,+1(ж) - xPjix) + pj+iPj i{x) = 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |