|
| |
|
Слаботочка Книги Jxi 7г\/1 - X lim - = I Л dx. г. 2 Таким образом, нули ортогональных многочленов независимо от весовой функции р{х) распределены асимптотически одинаково, с плотностью l{к/T). § 5. Квадратурные формулы Гаусса Из оценки (2.1) следует, что погрешность квадратуры оценивается через погрешность приближения функции многочленами. Функция приближается многочленами более высокой степени точнее, чем многочленами низшей степени: Поэтому есть основания обратить внимание на квадратуры, точные для многочленов по возможности более высокой степени. Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. При заданном числе узлов п построить квадратуру гЬ 1 1- точную для многочленов наиболее высокой степени. Такие квадратуры называют квадратурами Гаусса. Мы видели (§ 2), что квадратура (1) точна для многочленов степени тп, если она точна для всех функций .х, q = О, ..,m. Следовательно, должны вьшолняться соотношения Rn [х ) - / хЧр{х) dx - - V Djx] = 0, 5 = О,..., m. (2) При обработке результатов наблюдений возникает задача приближения функций, заданных на множестве точек .Xj,----xjy вещественной оси с помощью многочленов от переменной х. Эта задача часто решается с помощью ортогональных многочленов дискретной переменной. В теории таких многочленов установлены их свойства, аналогичные свойствам ортогональных многочленов непрерывной переменной; построены дискретные аналоги для всех рассмотренных выше типов ортогональных многочленов непрерывной переменной. Отметим одно важное свойство распределения нулей ортогональных многочленов. Пусть [а, Ь] = [-1, 1], вес р{х) почти всюду положителен на [-1, 1]. Обозначим через ш (ж1, х-) число нулей многочлена Р (ж), принадлежащих отрезку [.xj, Ж2]. Тогда справедливо соотношение при Шп{х) = {х - Хх) ...{х - Хп) и Pn-i{x) - пронзволъном многочлене степени не выше п-1. Доказательство. Пусть Pn~i{x)-некоторый многочлен степени не выше п - 1. Вследствие условия леммы квадратура (1) точна для многочлена Q2n-\{x) = (jJn{x)Pn~i{x) степени 2п - 1. Поэтому гЬ гЬ I uin{x)Pn-i{x)p{x) dx = I Q2n-i{x)p{x) dx = J a J a 0 - a / Ч = -JjQ-ixj) = 0. j=i Последнее соотношение вытекает из равенства Q2n~i{xj) = 0 при всех j. Лемма 1 доказана. Далее предполагается, что р{х) > О почти всюду на [а, Ь]. Из результатов § 4 вытекает единственность многочлена фп{х), Фп(х) = x-i----, ортогонального всем многочленам низшей степени, если скалярное произведение задано соотношением (/, 9) fj{x)g(.x)p{x)dx. Получили систему из (т + 1)-го уравнения относительно неизвестных XI,..-, Хп, Di, Dn, где xi,ж , - неизвестные узлы, а Di,..., Dn~ неизвестные коэффициенты квадратурной формулы (1). При m 2п - 1 число уравнений не превосходит числа неизвестных, поэтому можно ожидать, что алгебраическая система (2) имеет решение. Можно попытаться построить квадратурные формулы, соответствуюгцие значению m = 2п - 1, решая эту систему, однако неясно, будут ли узлы квадратур, получаемые из (2), принадлежать отрезку [а, Ь]. В противном случае может оказаться, что функция /(ж) не определена в узлах интегрирования и употребление квадратуры невозможно. Заметим, что в гл. 8 при построении конечно-разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений возникнут квадратуры с узлами вне отрезка [а, Ь]. Займемся построением квадратзф, соответствуюших максимальному значению т. = 2п - 1. Лемма 1. Если х ..., Хп - узлы квадратуры (1), точной для всех многочленов степени 2п - 1, то in{x)Pn-i{x) д,х = О f{x)p{x) d,x~Y. Djfij), (3) точную для многочленов степени 2п - 1. Если почти всюду р{х) > О, то не суш,ествует квадратуры, точной для всех многочленов степени 2п. В самом деле, возьмем Q2nix) = (х - жх) ... (ж - тогда левая часть (1) {{х - xi)... (ж - Хп)) р{х) dx > О, а правая равна 0. Поэтому фп{х) = и узлы отыскиваемой квадратуры должны быть нулями Фп{х). Согласно результатам § 4 многочлен фп{х) на (а, Ь) имеет п различных нулей. Лемма 2. Пусть xi,..., Хп - пули ортогонального многочлена фп{х) степени п и (1) - квадратура, точная для многочленов степени п - 1. Тогда квадратура (1) точна для многочленов степени 2п ~ 1. Доказательство. Произвольный многочлен Q2n-~l{x) степени 2п -1 представим в виде Q2n-i{x) = фп{х)дп-\{х) +Гп-\{х), где уп-х и г , 1-многочлены степени п - 1. Имеем Rn{Q2n-l) = Яп{Фп9п-1) + Rn,{rn-l) = Яп,{Фп9п-1), так как jR (r , i) = О по условию леммы. Далее, Ь а Вп{Фп9п-1) = / Фп{х)дп-\{х)р{х) dx--- У] Djфn{xj)gn-\{xj) = о, поскольку / фп{х)дп-\{х)р{х) dx = вследствие свойства ортогональнос- ти многочлена фп{х) многочленам низшей степени, а все фп{Х]) = О по предположению леммы. Следовательно, Rn{Q2n-i) = 0. Лемма 2 доказана. Теперь можно построить требуемую квадратурную формулу. Для этого зададимся узлами интерполяции в которых фп{х,) = О, и построим (например, следуя построениям § 3) квадратуру, точную для многочленов степени п - 1. В итоге получим требуемую квадратуру 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |