|
| |
|
Слаботочка Книги Доказательство. Функция является многочленом степени 2п-2. обращающимся в нуль во всех точках Xj ф Xi. Квадратура (3) будет точна для этой функции, поэтому Х - XI Раскрывая выражение ,(ж)/(ж - получим / ТТ ± dx > 0. Лемма доказана. Поскольку все Dj > О, то, воспользовавгцись (2.1) и (2.2), имеем 2 {j\{:A d En-iif). (4) Можно получить также оценку погрешности квадратур Гаусса через / (а;). Эта оценка имеет вид Rn{f)-f40[p{x)dx. (5) Для практического применения формул Гаусса необходимо иметь в распоряжении узлы и коэффициенты этих квадратур. Можно показать, что для случая р{х) - четной относительно точки (а + Ь)/2, нули ортогональных многочленов, т. е. узлы квадратур Гаусса, расположены симметрично относительно середины отрезка [а, Ь]. Вследствие (3.5) коэффициенты квадратуры Гаусса (3) будут удовлетворять условию четности Dj = DnJri-j- Это обстоятельство наполовину уменьшает объем таблиц для формул Гаусса. Если р{х) = 1, то коэффициенты Dj и числа dj = a-j {a + b) не зависят от отрезка [а, Ь]. В самом деле, если многочлен (ж) = {х - xi).. .{х - Хп) принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом 1 на [а, Ь], то многочлен {t - di)...{t - dn) принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом 1 на [-1, 1]. Поэтому он сам, его нули, а согласно (3.3) и коэффициенты Dj определяются однозначно, независимо от исходного отрезка [а, Ь\. Лемма 3. Коэффициенты Dj положительны. Приведем для сведения параметры квадратур Гаусса для отрезка [-1, 1] при р{х) = 1. В этом случае остаточный член R{f) для квадратурной формулы (3) есть Вследствие свойства симметрии мы указываем лишь неотрицательные dj и коэффициенты при них (табл. 1). Таблица 1
В настояш,ее время составлены таблицы узлов и весов квадратур Гаусса по крайней мере до п = 4096 с 20 десятичными знаками. Вследствие их большого объема, начиная с некоторого По, их публикуют лишь для п = 2, п = 3 2. Иногда целесообразно видоизменить идею Гаусса построения квадратур, точных на многочленах максимально высокой степени. Например, пусть требуется вычислить ff{x)dx, Jo а значение /(а) вычисляется су- щественно быстрее, чем значения в других точках отрезка [О, 1] (или почему-либо заранее известно). Тогда имеет смысл построить квадратуру f(x)dxY13f(<i3h do=a, /(/) = dx SM) = Ё /( ) f{x)dxYlhfij) 4 = -1, dn = l, (6) точную для многочленов степени 2п-1; в последнем случае оказывается, что dj = dn-j, Ij = In-j при всех j. Степень многочлена, для которого точна квадратура, определяется числом свободных параметров квадратуры. Квадратура (6) называется квадратурой Лобатто или формулой Маркова] при п = 1 она совпадает с формулой трапеций, нри п = 2 - с формулой Симпсона. Задача 1. Введением весовых функций и заменой переменных х = (p(t) свести построение квадратур (6) к построению некоторых квадратур Гаусса. Задача 2. Пусть [а, Ь] = [-1, 1], р{х) = . Доказать, что соответ- vl - ствующей квадратурой Гаусса является = ux ~ OnKJ ) = -2 П {2j - 1)7Г где Xj = cos----нули многочлена Чебышева Т (ж). Указание. При проверке точности квадратуры для многочлена степени 2п - 1 представить многочлен в виде 2п-1 Е атТп{х) и установить, что квадратура точна для Тт{х) при m < 2п. В настоящее время рассчитано много таблиц формул Гаусса и формул типа Лобатто, в частности, при [а, 6] = [-1, 1], р(ж) = 1, а также в более общем случае при [а, Ь] = [-1, 1], р(ж) = (1+жГ(1-ж) а, /3>-1, и при [а, Ъ] :Ф [О, оо), р{х) = .г е~=, а > -1. точную для многочленов степени Ъь. Если требуется вычислить j f{x)dx, а значения /(1) и /( - 1) вычисляются существенно быстрее, чем значения во внутренних точках отрезка [-1, 1], то имеет смысл построить квадратуру 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |