Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Если подынтегральная функция интеграла

хорошо приближается тригонометрическими многочленами с периодом ш, то целесообразно применить квадратуру, являющуюся аналогом квадратуры Гаусса для этого случая вида

ад зд/) = Е/()

Имеем равенство

(ехр {21 }) = Е =

7=0

exp{27rmi} - 1 exp{27rmi/iV} - 1

при при

- целом,

В то же время

/(exp{27rmi}) =

CJ при m = о, О при тфО.

не целом.

Следовательно, квадратура (7) точна для функции cos(27rma;/w) при m = О или при m/iV не целом и для всех функций sin(27rma;/a;). В результате этого оказывается, что квадратура точна для любого тригонометрического многочлена

tN{x) = Со -Ь Е OmCos 27rmj + bm sin 27rmj j -b bvsin 27riV-j ; (8)

m=0 iO iO U)

следовательно,

RnU) = RN{f - tN) + RNitN) = RnU - tpf). Аналогично (4) получаем оценку

RNif)

2u) inf max

tN [0,ul]

fix) - tN{x)

Нижняя грань берется по множеству всех многочленов вида (8).

Задача 3. Доказать, что не существует квадратур с N узлами, точных для всех тригонометрических многочленов стелени N.

§ 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул 113

§ 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул

Выше получены ряд квадратурных формул и строгие оценки погрешности для них. Однако это не решает всех проблем задачи численного интегрирования. Важнейшей задачей вычислительной математики является создание алгоритмов и пакетов программ, обеспечивающих получение решения задач с заданной точностью при минимальном объеме затрат человеческого труда и работы машины. Практическое применение полученных выше оценок требует аналитических выкладок и поэтому достаточно большого объема работы исследователя; кроме того, эти оценки часто оказываются слишком завышенными. Поэтому при создании таких систем обычно отказываются от использования подобных оценок, зачастую жертвуя строгой гарантией малости погрешности приближенного решения.

Можно говорить, что задача от ее возникновения до получения результата проходит через некоторую систему, состоящую из людей, решающих задачу, и ЭВМ. На первоначальном этапе применения ЭВМ наиболее узким местом, тормозившим работу этой системы, являлось недостаточное количество ЭВМ. Поэтому применение аналитиюских методов решения или аналитическое проведение оценок погрешности было оправданным.

Однако теперь, с повсеместным распространением вычислительной техники и внедрением ее в различные сферы деятельности общества, обстановка меняется. Узким местом этой системы становятся длительность выбора математической модели, метода решения задачи, программирования и других этапов, предшествующих непосредственному решению задачи на ЭВМ. Прохождение этих этапов особенно замедляется в случае, когда решением задач на ЭВМ занимаются представители конкретных наук, например филологи, медики, экономисты, географы и т. п., мало знакомые с численными методами или программированием. Обучение их тонкостям теории численных методов может превратиться в самоцель, отвлекающую от решения основных задач их науки, и в конечном счете обойтись обществу довольно дорого. Поэтому в настоящее время важнейшей проблемой является создание систем решения задач с максимально простым обращением, предполагающих малую квалификацию пользователя в отношении численных методов и программирования. Например, естественно потребовать, чтобы к программе вычисления интеграла с заданной точностью мог обратиться исследователь, знающий, что такое интеграл, но не умеющий ни интегрировать, ни дифференцировать.

Конечно, в развитии многих областей знания и техники решающая роль математики состоит в создании математической модели явления, а потом уже в применении ЭВМ для ее исследования. При разработке модели от специалиста этой отрасли знания требуется определенная математическая культура, и наше высказывание не следует понимать как предложение полностью избавить его от математики.

Подоплекой проводимых здесь рассуждений является следующее известное рассуждение. Когда мы занимаемся решением каких-то задач, то нужно учитывать эффективность нашей работы не только по совокупным затратам на решение этих задач, но и принимать во внимание убыток, понесенный обществом в результате того, что нами не решены некоторые другие, возможно более важные задачи.

При практическом анализе погрешности численного интегрирования часто пользуются различными полуэмпирическими приемами. Наиболее распространенным из этих приемов явлшется следующий. Производятся вычисления по двум квадратурным формулам

Ь

Ш) = / т dx SHf) = if (4) = 1 2;

далее некоторая линейная комбинация S{f) = S{f)+e{S{f)-~S{f)) этих квадратур принимается за приближенное значение интеграла, а величина р= \S{f) - 5(/)-за меру погрешности приближенной формулы /(/) % S{f). Довольно типичным является случай в = 0.

Описанный выше подход нельзя считать полностью оправданным вследствие его неоднозначности.

Пусть, например, 5 (/) -формула Симпсона:

S(/)-формула трапеций:

S\f) = fi~l) + fil)

п в = 0. Тогда в качестве меры погрешности выступает величина р = 11/(1)-2/(0)+ Если

S4f) = 2/(0)

- формула прямоугольников, то соответствующее значение р= 1/(1) - 2/(0)-Ь/(-1). Таким образом, мы получили две различные эмпирические оценки погрешности одной и той же формулы Симпсона.

Попытаемся прояснить ситуацию. Выражение S{f) является некоторой квадратурной суммой

ад = Е,-./(,) (1)

по совокупности узлов Ху, принадлежащих объединению узлов, соответствующих квадратурам iS(/) и 5(/). В то же время <

Р = \1(.П\.

lif)=-T.Bjf{xj). (2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208