|
| |
|
Слаботочка Книги /(Ч-2/()+Л ) Иначе обстоит дело, когда т N. Тогда нельзя получить никакого приближения к / (С) через величины /(a;i),...,/(жуу), и проблема получения эмпирической оценки погрешности в рассматриваемой выше постановке не может быть решена. Возьмем произвольную линейную комбинацию вида (2) и положим S\f) = Sif), sHf) = sif)-eiif). Тогда мы получим приближенное значение интеграла /(/) S{f) с оценкой погрешности р = в\1{/)\- Мы видим, что на таком пути можно получить неограниченное множество оценок погрешности одной и той же квадратуры (1). Рассматриваемую задачу можно формулировать следующим образом. Приближенное значение интеграла вычисляется по формуле , N ms{f) = ~Y.,s{xj). (3) Требуется построить выражение вида (2), дающее представление о погрешности квадратуры (3). Предположим, что погрешность квадратуры (3) представляется в виде 7г(/) = :о(ь-оГ+\/(-)(С). (4) Рассмотрим случай т < N. Тогда в кашстве /(/) можно взять величину /(/) = - аГ+;...; J, где ж!,а; 1-различные узлы квадратуры (3). Разделенная разность может быть выражена через производную, поэтому имеем /(/) = Г(6-аГ+\/(-)(С), а<С<Ь- Следовательно, при а = const, (а) 7 О, (Ь - о) -> О справедливо соотношение R{f) ~ /(/) и величину р = /(/) можно принять за меру погрешности. Пусть, например, оценивается погрешность формулы трапеций jj{x) dx S{f) = (/(а) + О / () + /(b)) . Согласно оценкам из § 3 имеем Таким образом, мы можем принять за меру погрешности величину Ъ - а 4{Ь ~ а) в Случае многомерных интегралов все практические способы оценки погрешности опираются на исходную, раскритикованную нами процедуру. Дело в том, что в многомерном случае погрешность оценивается через значения нескольких производных подьштегралыюй функции. Получение обоснованных оценок, подобных (6), для таких формул крайне затруднительно. Поэтому обращаются к исходной процедуре с последующей экспериментальной проверкой результатов ее применения. § 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций Пусть требуется вычислить интеграл f{x)exTp{iuix}dx, где u){b - а) 1, /(ж) -гладкая функция. Функции Re (/(ж) ехр{1а1ж}), Im (/(ж) ex.p{iwx}) имеют на рассматриваемом отрезке примерно uj{b -а)/тг нулей. Поскольку многочлен степени п имеет не более п нулей, то такие функции Например, мы не можем получить удовлетворительного представления об оценке погрешности формулы Симпсона через значения /(о), /), f{b). Однако можно получить некоторую завышенную оценку погрешности. Рассмотрим один подход к разрешению возникшей проблемы. Предположим, что нам удатюсь получить оценку погрешности вида i?(/)K(fcшах Положим р = (Ь - ufDiN - 1)! ...;xn)\. (5) При а = const, /(-)( ) 9 О, (Ь-п) О имеем а ~ р. Таким образом, величину р молено принять за приближенную оценку погрешности формулы (3). Эта оценка будет сильно завышенной, поскольку при предположении m > iV имеем R{f) = 0{b - а)~. Однако лучшей оценки погрешности формулы (3) по сравнению с оценкой через а, по-видимому, нельзя предложить. В случае формулы Симпсона верна оценка (5) при D = ~ м, таким образом, за меру погрешности принимаем величину о1 могут быть хорошо приближены многочленами степени п лишь при п 3> 1{Ь - а)/тг. Поэтому для непосредственного вычисления интегралов от таких функций потребуется применение квадратур, точных для многочленов высокой степени. Более выгодным может оказаться путь рассмотрения функции expjiwa;} как весовой. Как и в § 1, зададимся узлами интерполирования Ь + а Ь - а. Xj =+ ~-(,п .7 = 1,...,п и заменим исходный интеграл на / Ьп{х) ехр {iojx} dx, где L (.t) -ин- терполяциопиый многочлен с узлами Xj. Последний интеграл может быть вычислен в явном виде l\nix)exp{iux}d:r, = = expjio;} Ё,- (u;) /(ж,), DiiP) = f ( П exp{ipe}cZe. J-i \ Z± Ч - dk Получилась квадратурная формула fix)exp{iojx}dxS!::if) (2) J o, с остаточным членом Rnif) = ifix)-Lnix))exp{iu}x}dx. В соответствии с (3.1) Rnif) J\fix) - Ln{x)\ dx Did (max /( )(a;)) () Вычисление интегралов такого рода является типичной задачей, встре-чающейся при разложении функций в ряды Фурье, при построении диаграмм направленности антенн и т.д. В стандартных программах вычисления интегралов от быстро осцил-лируюгцих функций используются формулы (1), (2), соответствующие случаям: п = 3, d, = -1, с?2 = О, с?з = 1 (эту формулу называют формулой Филона) или п = 5, di = -1, da = -0.5, da = 0, d4 = 0.5, ds = 1. Если формулы (1), (2) использовать для вычисления интегралов от функций, не являющихся быстро осциллируюгцими, то может возникнуть 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [37] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |