|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [39] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 С оценкой остаточного члена В результате интеграл по всему отрезку будет аппроксимирован суммой мм / , \ SUf) = Е = Е Е :if ( -Ь Л (4) Перепишем оценку (5.4) погрешности формул Гаусса: \Rnif)\ 2 (Ipix) dx Е2 г{,П. (2) Пусть подынтегральная функция f{x) непрерывна. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса, при любом е > О найдется лшогочлен Рд{х), для которого шах/(:с) - РДж) е, откуда следует, что £, (/) -> О при mсо. [а.Ь] Таким образом, для лпобой непрерывной функции /(ж) погрешность формул Гаусса i? (/) -+ О при п -+ оо. Задачах. Пусть /(ж) - функция, интегрируемая по Риману. Доказать, что для формул Гаусса Rn{f) -> О при п -> оо. Из С1Сазаниого выше видно, что формулы Гаусса могли бы быть положены в основу универсальных программ вычисления интегралов с заданной точрю-стью. При этом придется вводить в ЭВМ каким-либо образом }злы и веса этих квадратур. Во многих случаях возникает задача вычисления интегралов, где по-дьнгтегральная функция или ее производные невысокого порядка имеют участки резкого изменения, например обрагцаются в бесконечность. Такие с1зункции плохо приближаются многочленами сразу на всем отрезке интегрирования. Здесь часто оказывается более выгодным разбить исходный отрезок на части и на каждой части применять свою квадратурную с}зормулу, Гаусса или какую-либо другую. Пусть вычисляется интеграл 1=1 fix) dx. Разобьем отрезок [А, В] на М частей [о, 1, о,], где оо = А, ам = В. Для вычисления интеграла по каждой из частей применим какую-либо квадратурную формулу из §§ 1, 3 вида с оценкой остаточного члена RmU)\ = \i- siA.f)\ (-j . (5) Выражение (4) часто называют составной или обобгцегтой квадратурной формулой. Рассмотрим наиболее простой для исследования случай, когда отрезки разбиения имеют одинаковую длину aq - a,ji =Н. Тогда оценка погрепг- ности (5) после замены max приобретает вид на величину А , = max {А, В] \RUf)\DAmiB-A)H \ где 5 = 2-(-+i) Д (6) [В - \RUf)\DAj Приведем конкретные квадратурные формулы и оценки погрешности для частных случаев формул (3). 1. Составная формула трапеций с постоянным шагом интегрирования. В этом случае при постоянном шаге - a,j-i = Н формула (3) приобретает вид а остаточный член оценивается следующим образом: \RmU)\ М---= 2-p7fj2- 12М2 2. Составная формула Симпсона с постоянным шагом интегрирования. При постоянном шаге - Oqi = Н = 2h формула (3) приобретает вид ~ Н (g/( o) + g/(ai/2) + 3/(01) + g/(fl3/2) + + /(02) + + /(ам-i) + /(ам-1/2) + /(ом) , где aj = йо + jH. Для остаточного члена справедлива оценка И4 >4(qm -ао)Н А4{ам -ар) А/х{ам -ми; К 2880 ~ 2880М4 ~ 180 Последняя запись оценки наиболее употребительна. Мы получили формулы с порядком погрешности 0(iV~ ) по отношению к общему числу узлов интегрирования N = Мп в предположении ограниченности Заметим, что в случае формул трапеций и Симпсона общее число узлов N оказалось меньше, чем Мп, поскольку концы элементарных отрезков [а-ь а] были узлами интегрирования и значения функции в этих концах использовались для вычисления интегралов по двум соседним элементарным отрезкам. Задача 2. Пусть / f\x) dx < оо, q 2; получить оценку погрешно-Ja сти формулы трапеций \RUf)\ъ[[\fHx)\dxH, (9) где 7д - абсолютная постоянная. в dx < оо, Q 4; получить оценку ногрешно- Задача 3. Пусть / f-Hx) Ja сти формулы Симпсона \RMU)\f,[j\.&Hx) dx)HJ, где 0q - абсолютная постоянная. Пусть, например, вычисляется (sin.T) dT, О < а < 1. Так как ((sinx) ) -> оо при х О, то мы не можем получить никаких оценок погрешности через шах/(.т). В то же время функция (sina;) монотонна на отрезке [О, 1], поэтому {{smx) ) dx = {smx) = 1. Следовательно, при использовании квадратуры (4), соответствующей ш = 2 с постоянным шагом Uq - Uq-i s Н, согласно (9) имеем оценку погрешности 0{1/N). В данном примере из оценки (6) малость погрешности не следовала; в то же время на основании (9) мы заключаем, что эта погрешность порядка 0{1/N). Не следует думать, что в случае функций с малым числом ограниченных производных составные формулы численного интегрирования имеют лучший порядок сходимости по сравнению с формулами Гаусса. Предположим, что подынтегральная функция имеет q ограниченных производных. Тогда, применяя составную формулу (4), соответствующую п = q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [39] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |