Слаботочка Книги ............. Глаео 1 =========== Погрешность результата численного решения задачи в этой главе объясняются источники возникновения погрешности решения задачи, даются основные правила задания приближенных величин и оценивается погрешность как простейших, так и более сложных функций от приближенно заданных величин. В дальнейшем конкретные оценки этой главы но существу не используются, но сам разговор о них необходим для понимания реальной обстановки, в которой используются рассматриваемые в книге методы решения задач. § 1. Источники и классификация погрешности Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами: 1) математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания; 2) применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному; 3) при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления. Погрешности, соответствующие этим причинам, называют: 1) неустранимой погрешностью, 2) погрешностью метода, 3) вычислительной погрешностью. Часто неустранимую погрешность подразделяют на две части: а) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи; б) погрешность, являющуюся следствием несоответствия математического описания задачи реальности, называют, соответственно, погрешностью математической модели. Тройная нумерация рисунков и формул указывает главу, параграф, номер формулы или рисунка; двойная, применяемая только для формул, - параг1)аф и номер (в данной главе); одинарная, применяемая также только для формул,-только номер (в данном параграфе). Дадим иллюстрацию этих определений. Пусть у нас имеется маятапк (рис. начинающий движение в момент t = tg. Требуется предска- зать угол отклонения ip от вертикали в момент ty. Дифференциальное уравнение, описывающее колебание этого маятника, берется в виде /-4-,.sin + J = 0, (1) где I - длина маятника. (/ -ускорение силы тяжести, -коэффициент трения. Как только принимается такое онисание задачи, решешис уже приобретает неустранимую погрешность, в частности, потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно; другой источник неустранимой погрешности состоит в погрешностях определения /, д, /1, to ,(p{tQ), (p(tQ). Название этой погрешности - неустранимая - соответствует ее существу: она некоитролируема в процессе численного решения задачи и может уменьшиться только за счет более точного описания физической задачи и более точпого определения параметров. Дифференциальное уравнение (1) не решается в явном виде; для его решения требуется применить какой-Рис. 1.1.1 либо численный метод. Вследствие этой причины и возникает погрешность метода. Вычислительная погрешность может возникнуть, например, из-за конечности количества разрядов чисел, ухаствующих в вычислениях. Введем формальные определения. Пусть / - точное значение отыскиваемого параметра (в данном случае-реальный угол отклонения маятника (р в момент времени t), I -значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию (в данном случае значение y?(<i) решения уравнения (1)), Ih - решение задачи, пoлyчaeюe при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений, / - приближение к ретнению задачи, получаемое при реальных вычислениях. Тогда pi = I - I - неустранимая погрешность, Р2 = Ih ~ I ~ ~ погрешность метода, (2) ps = 1 - ih - вычислительная погрешность. 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |
|