|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 класс задач. По этому поводу можно сказать следующее: формальрю при выборе метода решения задачи исследователь не относит ее к какому-либо классу; однако метод решения всегда выбирается в зависимости от некоторых типичных свойств задачи: тип дифференциального уравнения, наличие особенности у решения, число конечных производных и т.п. При выборе алгоритма исследователь учитывает эти свойства и тем самым вольно или невольно относит рассматриваемую задачу к классу задач, обладающих этими свойствами. При анализе задач и разбиении их на классы часто возникает вопрос: какому классу задач уделить первоочередное внимание, в частности, на какой класс задач следует рассчитывать при составлении стандартной программы численного интегрирования? Пусть, например, нри помощи этой программы примерно с одинаковой частотой будут вычисляться интегралы как от гладких, так и от не очень гладких функций. На какие функции нужно ориентироваться при выборе алгоритма для этой программы? Ответ на этот вопрос можно получить из следующих соображений. На гладких функциях алгоритм будет работать более эффективно, поэтому время, затрачиваемое на их решение, будет меньше времени, затрачиваемого на решение задач с негладкими функциями. 50% экономии времени при вычжттении интегралов от гладких функций принесет меньшую выгоду, чем 50% экономии времени при вычислении интегралов от негладких функций. Следовательно, целесообразнее уделить внимание эффективности алгоритма в случае негладких функций. Конечно, вывод будет другим, если доля негладких функций будет мала. При отыскании оптимального метода решения класса задач в случае, когда предполагается непосредственное внедрение алгоритма в вычислительную практику, обычно возникает следующая проблема: нам не удается сразу найти оптимальный метод решения задач рассматриваемого класса. После некоторого времени работы мы находим какой-то метод, иногда близкий к оптимальному, иногда просто лучший, чем ранее известные, а затем постепенно совершенствуем его. В какой момент надо остаьювиться в усовершенствовании метода и перейти к составлению стандартных программ решения этого класса задач? При ответе на этот вопрос надо учитывать следующие простые соображения. Если мы поспешим и быстро начнем внедрять только что полученный алгоритм, то, может быть, нам придется вскоре создавать новые алгоритмы из-за плохого качества этого алгоритма. Затягивание времени при составлении стандартных программ также нежелательно: при этом мы допустим большой перерасход машинного времени при решении задач но имеющимся стандартным программам. Можно возразить, что создание совершенных стандартных программ приведет к большой экономии машинного времени в будущем. Однако при анализе этого возражения в свою очередь следует учесть, что машинное время становится все менее дефицитным и более дешевым. Кро- ме того, чем раньше мы решим ту или иную задачу, тем большую реальную пользу получит общество в целом. Нужно учитывать также важность быстрого внедрения вновь созданных алгоритмов для самой задачи отыскания оптимальных методов решения. Дело в том, что анализ результатов расчетов может указать на необходимость изменения класса рассматриваемых задач и открыть путь для новых теоретических исследований. Мы видим, что подход к проблеме оптимальности должен носить динамический характер: должны строиться оптимальные или близкие к ним методы для все новых классов задач, предъявляемых наукой и техникой, при изменении возможностей, предоставляемых ЭВМ. При этом необходима как текущая работа, так и работа по доведению предложенных ранее постановок до окончательного решения. Для вычислительной математики, как и для всякой прикладной науки, характерна следующая обстановка. Обычно задачи новых типов предъявляются сначала в незначительном количестве и требуется срочное их решение любой ценой, не считаясь ни с какими затратами. На первом этапе применяется первый попавшийся приемлемый метод. Далее эти задачи поступают в большом количестве, производится более или менее удовлетворительная постановка задачи оптимизации методов и находится некоторое ее решение. Затем задача переводится на поток, т.е. решение задач этого типа производится при помощи пакетов соответствующих стандартных программ. Не следует думать, что на этом этапе полностью кончается исследование данного типа задач -чтобы создавать эффективные методы решения новых задач, нужно осмысливать те задачи, которые остались несколько позади, и проводить их теоретическое изучение. Иногда бывает целесообразно работу по быстрому решению первых поступивших задач серии и перспективную работу по созданию эффективных методов решения с самого начала организовать параллельно. Соотношение между текущей и перспективной работой также является важнейшим фактором жизнедеятельности любой научной организации. В каждый момент времени организации предъявляются некоторые требования, выполнение которых необходимо для ее существования: самоокупаемость в случае хозрасчетных организаций, своевременная отчетность по годовому плану и т. п. Однако существуют и критические моменты времени, когда предъявляются повышенные требования к работе, например, необходимость своевременного решения новых классов задач. Поэтому при планировании работы должны предусматриваться какие-то теоретические разработки впрок, резервы людей, машинного времени. Вернемся к вопросу об оптимизации методов. Часто математик, создав оптимальный или близкий к нему метод решения задачи, сетует на то, что этот метод плохо внедряется в вычислительную практику. Ответ на этот вопрос может быть самым разным. Часто это происходит вследствие консерватизма практических работни- § 10. Постановка задачи оптимизации квадратур Рассуждения § 9 показывают важность изучения различных постановок проблемы оптимизации методов на классах функций. Рассмотрим задачу вычисления интеграла 1{.П= [ f{P)p{P)dP. Область интегрирования Q и весовая функция р{Р) предполагаются фиксированными. Класс рассматриваемых задач определим заданием класса F подыитегральпых функций. Погрегиностъю квадратуры H.f)SM = yD,fiP,) на классе F называют величину где, как обычно, Нижняя грань i?/v(P) = supP/v(/), RN{f) = Iif)-SN{.f). Wn{F) = inf RiiF) называется оптимальной оценкой погрегиности квадратур на рассматриваемом классе. Если существует квадратура, для которой Rj\-{F) = WjviF), то такую квадратуру называют оптимальной или наилучшей на рассма-триваемо.м классе. 5 903 ков, их желания работать старыми, привычными методами. Иногда это объясняется недостатками самого метода. Например, случается, что кроме (и даже вместо) оптимальности метода желательны и существенны простота метода и возможность надежного контроля точности получаемых результатов. Может случиться, что сам класс рассмотренных задач не совпадает с классом, к которому относится большинство задач, поступающих для решения. Конечно, нужно учитывать также вопрос о том, насколько широк возможный круг решаемых задач рассматриваемого класса. Если сейчас и в перспективе ожидается решение небольшого числа задач рассматриваемого класса, разработка оптимальных алгоритмов и создание стандартных программ решения задач этого класса могут себя не оправдать. В то же время изучение задаш оптимизации методов на различных классах часто полезно тем, что при решении возникают новые методы, которые затем паходят применение и нри решении задач из других классов. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |