|
| |
|
Слаботочка Книги -1/2 С оценкой погрешности ii?,-(/)i A/{AN). (1) (Доказать!) В настоящее время оптимальные квадратуры получены для небольшого набора классов функций, в основном одной переменной. Непосредственное значение этих квадратур для приложений невелико, однако это не значит, что не нужно заниматься построением таких квадратур. Построение оптимальных квадратур и дальнейшее их развитие на случай большей гладкости и большего числа переменных оказались ценными не получением конкретных квадратурных формул, а выяснением качественной стороны вопроса: где какие методы лучше, на какую точность можно рассчитывать при использовании определенной информации о подынтегральной функции, какова плотность распределения узлов у хорошей квадратуры. Пусть, например, при первоначальном анализе задачи мы решили воспользоваться информацией об ограниченности первой производной /(з;) А; оценка погрешности (1) нас не устраивает, поскольку для достижения нужной точности е требуется слишком большое число узлов: если А/(AN) е, то N A/iAe). Оптимальность оценки (1) указывает на необходимость сужения класса рассматриваемых задач путем учета дополнительной информации о подынтегральной функции (страниченность второй производной, тип особой точки подынтегральной функции, аналитичность и т.п.) или расширения множества используемых методов интегрирования. В § 2 была получена оценка (2.4) погрешности квад])атуры, точной для многочленов степени ш, через (m + l)-io производную функции. Эта оценка является неулучшаемой (см. задачу 2.3). Таким образом, для классов функций F: (.т) при хе[аЛ] величина Rji{F) известна и задача nocTjioenHH оптимальпой квадратуры сводится к нахождению коэффициентов и узлов, на которых достигается нижняя грань R]\f{F). Для ряда классов функций эту задачу уда/юсь решить. Например, при т = О такой квадратурой является составная формула прямоугольников § 11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы Развитие методов численного интегрирования могло бы пойти по пути создания оптимальных методов на различных классах Сг{А; [а, Ь]) и создания программ на основе этих методов. Здесь и далее C,-(j4; [а, Ь]) ~ класс функций с кусочно-непрерывной г-й производной, удовлетворяющей условию /((.т) нри же [а, Ь]. Вскоре после начала рассмотрения задач оптимизации методов стало ясно, что уже известные на этих классах методы с оценкой погрегиности (8.7) недалеки от оптимальных. Как увидим в § 7 гл. 5, за счет оптимизации квадратурной формулы оценка погрешности (8.7) на рассматриваемых классах не может быть улучшена по порядку. При этом также стало ясно, что некоторые методы, практически совпадающие с методами Эйлера и Грегори (см. § 13), являются асимптотически оптимальными по оценке главного члена погрешности. Имеется в виду следующее. Для этих методов на соответствующих классах функций бьши получены оценки погрешности Cr/N- + Cr.+,/N-+\ в то время как для оптимальных на этих классах методов оценка погрешности имеет вид Cr/N+0{1/N-+). Казалось бы, что поскольку есть почти оптимальные методы, то следующим этапом должен стать перевод всех программных комплексов интегрирования на использование этих методов. Однако подобное утверждение нельзя рассматривать как бесспорное. Вследствие большого многообразия задач, требующих решения, при переходе к этапу внедрения методов в практику всегда следует проявлять известную осторожность. Нельзя полностью ручаться, что принятое нами описание классов этих задач наилучшим образом соответствует классам реальных задач. Например, следует признать, что классы Сг плохо описывают реальные задачи. Конечно, из-за привычки к традиционным методам внедрение новых методов обычно требует энергичных действий со стороны их приверженцев. В то же время надо иметь в виду, что старые методы прошли испытание временем и могут оказаться более пригодными для решения задач некоторых классов, поэтому отбрасывание старых методов должно производиться лишь после достаточного теоретического и практического анализа. В случае рассматриваемой проблемы оптимизации методов интегрирования на практике еще до полного выяснения вопроса об оптимальности методов пришли к следующим заключениям. /(/)= [f{x)dx Jo и подьштегральная функция удовлетворяет условиям (/ (.т)! Ai па отрезках [Д-ь Д], / = 1,..., где О = Во < Bi < < Вд - I. Для вычисления интегралов Г-В, Ш)= [ f{x)dx применим составную формулу трапеций с равными отрезками разбиения длины Щ = k/Ni, где h = Bi - Bir- Ш) s,if) = щ (щ + f{B -y + + + Из результатов § 3 следует, что остаточный член оценивается величиной A/bf/{12Nf). Тогда суммарная погрешность при замене /(/) суммой si{f) не превзойдет величины Поставим задачу: при заданном числе N - Ni-\-----\-Nq отрезков разбиения распорядиться выбором величин Ni так, чтобы сулларная оценка погрешности Ф была минимальной. Найдем минимум Ф при условии Ф = Ni + + Nq - N = О, не предполагая пока, что величины Щ целые. Приравнивая нулю производные функции Лагранжа Ф -f- АФ, получаем систему уравнений а(ф + АФ) A,bf При разбиении исходного отрезка интегрирования на одинаковые элементарные отрезки ад - ag i = Н мы получаем информацию о подынтегральной функции равномерно по всему отрезку интегрирования. В то же время подынтегральная функция может быть более гладкой на части отрезка интегрирования, поэтому там следует поместить относительно небольшое количество узлов, т. е. для практически оптимальных методов разбиение отрезка интегрирования на части должно быть приспособлено к специфике поведения подынтегральной функции. Рассмотрим возможные постановки задач распределения узлов в зависимости от особенностей поведения производной подынтегральной функции. Эти постановки имеют много общего, однако для конкретных задач тот или иной подход иногда оказывается более удобным. Для простоты изложения мы будем проводить .рассмотрение на примере формулы трапеций. Пусть вычисляется интеграл 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [42] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |