|
| |
|
Слаботочка Книги Отсюда Из условия Ф = о получим следующее уравнение относительно Л: Из этого уравнения определяем Л и затем из (1) находим Л;. Поскольку Ni должны быть целыми, то возьмем, например. Ni = = Очевидно, что Мы не нашли настоящего минимума Ф по множеству всевозможных целых Ni,..., Nq, удовлетворяющих условию Л] -I- -I-Л<7 = Л, однако дальнейшее уточнение вряд ли разумно. Обычно практический интерес представляет другая вариационная задача: найти минимальное значение N = -\----+ Ng, при котором оценка погрегиности Ф не превосходит заданного е. Поскольку Ф монотонно убывает с ростом величины Ni, достаточно ограничиться случаем Ф = е. Возьмем функцию Лагранжа в виде iV] + + ЛГ, + Л-(Ф-e) Пpиpaвнивaя нулю ее производные по N[, I = 1, 2,..., q, получим те же 1 Ai уравнения (1); подставляя значение lhx грт в уравнение Ф = е, по- V ьл лучим Определяем Л, а затем соответствующие Л;. Соотношения для определения величин Ni, получившиеся при рассмотрении этих двух задач, имеют одинаковый вид. Поэтому для вывода качественных результатов об оптимальном распределении узлов достаточно было бы ограничиться рассмотрением одной из этих задач. Нашей целью является разработка оптимальных методов решения и разработка на их основе систем программ решения типовых математических задач. Можно представить себе программу вычисления интеграла с заданной точностью, работающую но следующей схеме. Производится вычисление таблицы значений функции на некоторой сетке xi,...,Xn- По этой таблице составляется таблица разделенньпс разностей /(жо; Жх; ж-г),. - -, /(ж-г; -i; Жп). Из рассмотрения этой таблицы делается вывод о наиболее целесообразном разбиении отрезка на части [Bii, Bi] и значениях Ль соответствующих этим частям. Затем, в соответствии с (1), выбираются Ni и производится интегрирование. Большинство алгоритмов реально работающих стандартных программ базируется не на таком непосредственном использовании полученных соотношений, а на одном качественном выводе, являющемся следствием (1). Для этого перепишем равенство (1) в виде Левая часть этого выражения равна оценке погрешности по элементарному отрезку интегрирования длины h/Ni, на которые разбит отрезок [Bi-i, Bi]. Таким образом, это соотношение означает, что при оптимальном распределении узлов интегрирования оценки погрешностей, приходя-щиеся на элементарные отрезки интегрирования, должны, быть одинаковыми. Для получения этого вывода достаточно было ограничиться случаем q = 2. Это обстоятельство подчеркивает общее свойство качественных характеристик методов решения задач (не обязательно математических): для их получения достаточно ограничиться рассмотрением простейгиих моделей, учитывающих основные стороны явления. Как правило, алгоритмы, основанные на качественных выводах о свойствах решения оптимизационной задачи, имеют более чиирокую область применения, чем алгоритмы, подобные вышеописанному, основывающиеся иа количественных соотношениях. Описываемые далее программы вычисления интегралов, основывающиеся на этом качественном выводе, позволяют вычислять с высокой скоростью сходимости интегралы от функций с регулярными особенностями типа ж°, а > - 1. Рассмотрим еще одну, близкую постановку задачи оптимизации распределения узлов интегрирования. Чтобы не утомлять читателя второстепенными деталями, мы не будем проводить подробных оценок членов высшего порядка в оценке погрешности. Пусть отрезок интегрирования [О, 1] разбит на части [og i, ад], q - 1,...,N, По = О, otv = 1, и интеграл по каждой части вычисляется по формуле трапеций Ш= г /() dx sqif) = ~ (/( , !) + f{ag)). Тогда интеграл по всему отрезку [О, 1] вычисляется по формуле i=l Q=l с оценкой остаточного члена Пусть известно, что \f {x)\ F(x) на [О, 1], где F{x) непрерывна, и пусть в качестве о взяты значения ip{q/N) непрерывно дифференцируемой функции If, удовлетворяющей условиям ip(0) = О, (/?(!) = 1. Поскольку -> оо, max ,\f {x)\ max Р{х) = F(a,) -Ьо(1) - F и))+о{1). Из ЭТИХ соотногпений получаем Подставляя последние соотношения в (3), имеем Выражение в фигурных скобках является квадратурной суммой Римана для интеграла О 12 от непрерывной функции. Следовательно, Рассмотрим задачу минимизации первого, главного члена выражения (4). Для удобства решения уравнения Эйлера примем за независимую неременную функцию (р. Тогда коэффициент при l/N в главном члене погрешности запишется в виде Уравнение Эйлера для функции, минимизирующей функционал G{(p, t, t) dip. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [43] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |