|
| |
|
Слаботочка Книги имеет вид d fdG\ dG В рассматриваемом случае dG/dt = О, поэтому из (5) имеем dG/dt = const. Подставляя конкретное значение функции G, получим = const F{)i{t)fC,. (6) Общее решение этого уравнения зависит от Ci и еще от некоторой постоянной С2. Значения этих постоянных можно определить из граничных условий ip{0) = О, (р{1) = 1. Решение рассмотренной вариационной постановки может практически использоваться различными способами. Например, в случае гладких функций /(ж) программы осуществляют численное интегрирование (6) на сетке с шагом, существенно большим 1/Л, и затем распределяют узлы в соответствии с полученным решением. Из соотношения (6) можно сделать тот же вывод о равенстве оценок погрешностей на элементарных отрезках интегрирования при оптимальном распределении узлов. В самом деле, умножим (6) на -j, положим t = и заменим F [ip [)) и j/p{) соответственно эквивалентными величинами шах F{x), Од - Og i. В результате получим K-b f/] Другой из возможных путей практического использования решения уравнения (6) состоит в следующем. Пусть требуется вычислить большую серию интегралов с одинаковым характерным поведением подынтегральных функций. Выделим простейшую модельную функцию, для которой задача оптимизации узлов может быть решена в явном виде, и далее будем производить интегрирование с распределением узлов, соответствующим этой функции. Если характер изменения функций из рассматриваемой серии зависит от некоторого параметра, то этот параметр следует учесть при выборе модельной функции; естественно, что модельная функция не обязательно относится к рассматриваемому классу. Чем большее количество задач предъявляется для решения, тем более оправданными могут быть затраты, связанные с удачным выбором и рассмотрением модельной задачи. / f{b, х) dx, ./о где 6 -параметр серии, /(6, ж) = хд{Ь, х), - 1 < 6 < 2, д{Ь, х)- гладкая функция, д{Ь, 0) ф 0. Если Ь О, 1, то вторая производная fxx{b, ж) не ограничена в окрестности точки О, поэтому при выборе модельной задачи следует учесть эту специфику поведения подынтегральной функции. В окрестности точки ж = О мы имеем иль, ж) = b{b ~ 1)ж -2(7(Ь, 0) + 0{х). Таким образом, в окрестности точки ж = О вторая производная fxx приблизительно пропорциональна второй производной функции у = х, поэтому функцию у = ж естественно рассматривать в качестве модельной. Примем за F{x) величину Ь(Ь - 1) ж ; тогда уравнение (11.6) запишется в виде отсюда Шь-1)\ 6 + 1 = Cxt + С2. Из условия (/?(0) = О получаем, что (72 = О, а из условия (/?(!) = 1 - что уз 3 = t. Таким образом, <p{t) =fb (1) и для модельной задачи вычисления интеграла .ж dx оптимальным в рассматриваемом нами смысле является распределение узлов = (ivJ Проведенные выше построения, вообгце говоря, неприменимы к рассматриваемому случаю, поскольку нри получении оценки (11.4) предполагалась ограниченность второй производной функции F{x), не имеющая места для данной задачи. Однако можно обосновать применимость оценки (11.4) и в рассматриваемом случае. § 12. Примеры оптимизации распределения узлов Рассмотрим примеры решения уравнения (11.6) для конкретных задач. Пример 1. Пусть вычисляется серия интегралов ж при ж G (О, 1], где - 1 < Ь < 1, по формуле трапеций с постоянным шагом о-o,y i = l/N вычисляется f\fb{x)dx. (2) Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению RnU) ~ Пф)/ N+\ где Di{b) ф 0. Задача 2. Интеграл (2) вычисляется по формуле трапеций с распреде- лением узлов aq - ip{qlN), <p{t)=t+f, определяемым (1). Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению Rif) D2{b)/N. Задача 3. Интеграл (2) вычисляется по формуле трапеций с распределением узлов Пд = ip{q/N), (p{t)=t . Показать, что при о>2(Ь--1) суммарная погрешность RnU) D{a, b)/N. Проверить, что D{a, b) > D2{b). Сравнение результатов решения этих задач показывает, что перераспределение узлов в сторону большей их концентрации вблизи особенности, в частности оптимизация распределения узлов, приводит к увеличению порядка скорости сходимости. Пример 2. Вычисляется серия интегралов .с (1пж)(7(Ь, x)dx, где (/(Ь, ж)-гладкая функция, д{Ь, 0) Ф О, Ь -параметр серии. Поскольку In ж имеет особенность в точке О, то кажется естественным взять в качестве модельной функции у = ж1пж. Ее вторая производная имеет вид г/= x~{b{b~l)lnx+{2b-l)). При (ж) = (ж1пж) уравнение (11.6) не решается в квадратурах, поэтому упростим задачу. При ж-> О функция In ж растет медленнее, чем любая степенная функция у = х~, е > 0. Исходя из этого в уравнении (11.6) возьмем (ж) = const ж . Пример 3. Вычисляется серия интегралов ехр-}5(Ь, ж)йж, (3) Задача 1. Пусть для функции О при ж = О, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [44] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |