|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [45] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 Отсюда l-exp{-g} = Сз* + С4. Из условия (р(0) = О следует, что С4 = О, а из условия (р{1) = 1 получаем откуда (fit) = 36 In 1 - 1 - ехр Пример 4. Вычисляется серия интегралов 1 exp{-x/b}g{b, x)dx, (4) где 7(6, ж) - гладкая функция, д{Ь, 0) ф О, Ь~ параметр серии, который может принимать очень малые значения. При малых b подынтегральная функция и ее производные резко меняются в окрестности точки ж = О за счет множителя ехр{-ж/Ь}. Поэтому в качестве модельной задачи возьмем задачу вычисления интеграла 1 ехр{-ж/Ь}йж. Положим F{x) = (ехр{-ж/6}) ; тогда в каче- стве уравнения (11.6) получим уравнение 1 - 2ip/b\exp{-(p/b}{dip/dtf = Cib/2, откуда J 1 - 2</р2/Ь1 ехр{-</р73Ь2} dp = J VW/\dt. Этот интеграл не вычисляется в явном виде, поэтому попытаемся произвести упрощения. Например, можно заменить 1 - 21р/ЬЦ на 1. При больших значениях (р/Ь, когда погрешность такой замены где д{Ь, ж) -гладкая функция, д{Ь, 0) Ф О, 6 -параметр серии, который может принимать очень малые значения. При малых Ь подынтегральная функция и ее производные резко меняются в окрестности точки X = О за счет множителя ехр{-ж/Ь}, поэтому имеет смысл произвести оптимизацию распределения узлов интегрирования на модельной задаче вычисления интеграла / ехр{-х/Ь} dx. Поло- жим F{x) = (ехр{-ж/Ь}) . Уравнение (11.6) приобретает вид Задачи, подобные рассмотренным в примерах 3, 4, возникают довольно часто. Например, при расчетах диаграмм направленности антенн вычисляются се- рии интегралов / exp{ibg{b, x)}h{b, а) dx в широком диапазоне изменения Ь; Jo функции д(Ь, х), h{b, х) являются довольно гладкими. При b не очень больших эти интегралы могут вычисляться с помощью простейших квадратурных фо1> мул. С ростом b производные подынтегральной функции растут, поэтому требуемое количество узлов интегрирования увеличивается. При очень больших b можно воспользоваться методом перевала или иными асимптотическими методами. Однако для промежуточных значений b оба эти метода будут плохи: первый -из-за трудоемкости, второй -из-за малой точности. Поэтому иногда применяют следующий метод: контур интегрирования преобразуется так, чтобы он проходил по линиям наискорейшего спуска функции exp{ibg{b, ж)}, как это делается при использовании метода перевала. Получаются интегралы от резко меняющихся функций, аналогичные рассмотренным в примерах 3, 4. Из приведенных примеров видно, что оптимизация распределения узлов интегрирования на основе уравнения (11.6) требует достаточно высокой квалификации исследователя. Поэтому далее в § 17 будет рассмотрен вопрос о передаче этих функций ЭВМ. § 13. Главный член погрешности Применение формул для оценок погрешности, подобных полученным в § 2, 3, требует достаточно высокой квалификации исследователя, например для получения требуемых оценок производных. При получении ряда из этих оценок, например оценок для составных формул трапеции и Симпсона, возможно существенное загрубление оценки, поскольку общая оценка погрешности равна сумме модулей оценок на отдельных отрезках. Эти обстоятельства определили интерес к получению выра>ния для главного члена погрешности. По информации о величине главного члена погрешности можно полноценнее проводить сравнение методов. Как будет видно далее, сам факт наличия главного члена у погрешности позволяет судить о реальной величине погрешности, не прибегая к теоретическим оценкам. Обратимся к составной квадратурной формуле трапеций вычисления интеграла /(/) = / f(x)dx с постоянным шагом большая, ее влияние не столь значительно из-за малого множителя ехр{-(р/{ЗЬ)}. После такого упрощения функция (p{t) будет выра- жаться через функцию, обратную функции / exp{-v}dv. § 13. Главный член погрешности 141 Я. Для удобства обозначим Н = {В - А)/М, ад = А + qH, в частности ао = А, ам = В. Имеем /(/) - SMif) - SUf) = я + Па,) + ...+ Пам-г) + ) - Согласно § 3.2 справедливо равенство j f{x) dx = H-------, Q e K-b Ы- Просуммировав по g, получим ам f{x)dx = SM{f) + Rif), Rif) = -f {Cn Jao gi Величину погрешности R{f) можно записать в виде т2 М R{f)--iif), {f) = Y.H! {( ) Выражение в правой части есть квадратурная формула для интеграла 1 f {x) dx, поэтому нри Я ->- О имеем (/)->/ f{x)dx. Следовательно, 772 гам ад = -/ f ix)dx + R,{f), R,if) = o{H). Задача!. Пусть <-Мд на [Л, Я]. Показать, что в этом случае \RiU)\ < сзМз(Я - А)Н\ Задача 2. Пусть на отрезке [Л, Я]. Показать, что \Ri{f)\ сМ{В - А)Н\ Полученное соотношение для R{f) может использоваться в различных целях. Например, его можно представить в виде R{f) = -(/() - ГШ + о{н\ (1) После вычисления f{B) - f{A) получаем значение главного члена погрешности. Предположим, что достигнутая точность не является удовлетворительной. Запишем (1) в виде I{f) = SUf) + o{H% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [45] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |