|
| |
|
Слаботочка Книги (/)= Г mdx. Подставляя в разность Iq{f) - Sg{f) представление /(ж) в виде отрезка ряда Тейлора, можно получить главный член погрешности на апгементар- ном отрезке в виде /НСд) и т.д. Продолжая процесс выделения главного члена погрешности, приходим к последовательности квадратурных формул Эйлера, /(/) - sZif) = slif) - Х:т2.я2(/(-)(Б) - с оценкой погрешности т - Sfrif) = -l2lf {С){В - Л)Я2. (2) Существует следующее соотношение, которому удовлетворяют числа 7: Обычно принято записывать числа т,- в виде Bj/j\, где Bj - так называемые числа Бернулли. Для сведения приведем несколько значений чисел 7,-: J 1 1 1 72-J2 4 - 720 30240 1209600 710 = 47900160 Как следует из решения задачи 2, при /На;) М4 выражение Sllf) оказьшается квадратурной суммой с погрешностью 0[(В - А)Н), т.е. такой же по порядку, как у формулы Симпсона. Можно попытаться выделить главный член погрешности получившейся формулы. Имеем равенства sif) = f (/K-i) + /К)) - иЫ - /K-l))- Величину Sg{f) будем рассматривать как приближенное значение интеграла в частности. 1 г. 1 г. 19 о 3 863 275 12 24 720 160 60480 24192 В случае подынтегральных функций с нерегулярным характером поведения, типа рассмотренных в § 11, применение формул Эйлера и Грегори неэффективно, поскольку производные высших порядков или не ограничены, или очень велики. Поэтому при непосредственном вычислении определенных интегралов эти формулы в настоящее время применяются редко. Однако они используются при интегрировании функций, заданных таблично, при вычислении неопределенных интегралов, при решении интегральных уравнений Вольтерра и других задачах, где существенно, чтобы значения подынтегральной функции вычислялись именно на равномерной сетке. Задача 3. Доказать, что главный член погрешности квадратуры Грего-ри /(/) GJ{f) есть fjllH+Цf(+\B) - Задача 4. Пусть / f{x)dx вычисляется по составной формуле трапе- ций с переменным шагом интегрирования: = ip{q/N), где - гладкая функция. Доказать, что главный член погрешности есть -fy {4>{t)W{t)fdt. Указание. См. построения § 11. Использование формул Эйлера неудобно, поскольку необходимо вычислять не только значения функции, но и значения ее производных. Однако, если в выражении S{f) заменить производные и f-~\B) производными интерполяционных многочленов степени / сооаветственно с узлами оо,...,а/ и а/,..., адг /, то при / = 2р - 3 и ; = 2р - 2 после проведения промежуточных преобразований получаются формулы численного интпегрировангт Грегори GmU) = SUf) - яЕД,.(У(ал/) - (-1)А/(оо)), ствим приближенное вычисление интеграла /(/) = / f{x)dx с помо- щью формулы трапеций с постояиным шагом Н\ = [В - А)/Mi и Н2 = {В-А)/М2\ Мг = 2Mt, т.е. Яг = Hi/2. Согласно (13.1) имеем равенство /(/) - SmAS) = if [В) - ПА)) +о{Н!), Н2 (1) /(/) - ЗмЛЛ = {ПВ) - ПА)) + о(Я). Мы стремимся построить алгоритм вычисления главного члена погрешности, не использующий его конкретного выражения. Для этого запишем (1) в виде совокупности приближенных равенств Ш)-8мЛЛсн1 * Величины SmiU) и ймаС/) определены в результате расчетов, поэтому мы имеем два приближенных равенства относительно двух неизвестных /(/) и С. Вычитая второе равенство из первого, получим ЗмЛЛ - Sm, (/) ~ CHf - С Hi ЗСЯ. § 14. Правило Рунге практической оценки погрешности Мы получили, что главный член погрешности формулы трапеций с постоянным шагом интегрирования равен -LH\f4B)-f4A)). в случае формул более высокого порядка точности можно получить представление главного члена погрешности квадратуры через производные высших порядков. Непосредственное использование этих выражений для оценки величины главного члена погрешности иногда неудобно, поскольку требует выполнения операции дифференцирования. В других задачах выражение главного члена погрешности может оказаться настолько сложным, что его вычисление требует дополнительного численного интегрирования. Поэтому в вычислительной практике применяется способ практической оценки погрешности, не использующий фактического выражения главного члена погрешности, а опирающийся лишь на факт существования такого главного члена. Для простейших задач типа численного интегрирования этот способ связывается с именем Рунге, в более сложных случаях-с именами Ричардсона и Филиппова. Этот способ основан на выделении главного члена погрешности по результатам расчетов с двумя различными шагами. Рассмотрим простейший вариант применения этого правила. Осуще- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |