|
| |
|
Слаботочка Книги Таким образом, сн1 = 1[8мЛЛ-ЗмЛЛ)- (3) Подставляя приближенное выражение СЩ в (2), получаем приближенное равенство /(/) - Зм,(Л [ЗмЛЛ - SmA/))- (4) Таким образом, величина (-л/гС/) --Sft/i (/) j является главным членом погрешности приближенного значения интеграла Вм-Л- Перенося в (4) значение бмгС/) в правую часть, получим формулу для более точного по порядку, чем SM-iif), приближения к /(/): ПЛ Sm,U) +1 {за4ЛЛ - ЗмЛЛ)- (5) Таким образом, описанный способ построения главного члена погрегиности порождает некоторую квадратурную формулу более высокого порядка точности. Задача 1. Доказать, что правая часть в (5) совпадает с составной квадратурной формулой Симпсона. Информация о величине главного члена погрегиности часто используется для приближенного определения минимального количества узлов, достаточного для достижения заданной точности. Из (3) находим, что сщ{змЛЛ-ЗмЛЛ), а затем выбираем шаг интегрирования из условия \СН\е или \CH\e\SM,{f)\, (6) где е - заданная абсолютная или относительная погрешность результата. Выписанные выше соотногпения (2)-(5) носят асимптотический характер, поэтому значение С, найденное из (3), будет достоверным (т.е. близким к истинному) лишь при достаточно малом Н2- В ответственных случаях после решения задачи с шагом Я, удовлетворяющим условиям (6), для контроля над точностью решают задачу с шагом 2Н и опять определяют главный член погрегиности, соответствующий шагу Н. Описанный метод уточнения результата по итогам двух расчетов применим к методам любого порядка точности, причем не обязательно брать Мз = 2Mi. Задача 2. Имеется некоторый метод решения задачи с погрешностью /(/) - SmU) - CIM. Показать, что (М2/М1) - ] при условии, что Ml, М2 - Ml -> CO. Задача 4. Пусть Показать, что ПЛ-8мЛЛ М vM + / 8мЛЛ-Змг{Л (М2/М1) -1 при условии, что Ml -> 00, М2 > Ml. в случаях, когда вычисляется большое количество интегралов с особенностями определенного вида, без серьезного теоретического анализа нельзя определить порядок сходимости метода на интегралах этого рода (из-за неограниченности производных мы не имеем права пользоваться результатом о существовании главного члена погрешности). В других же случаях порядок погрешности может быть известен, но неясно, как:им он оказывается при реально используемых значениях М. Рассмотрим вопрос о способах проверки выполнимости соотношения -R(/) ~ СМ~ при реально допустимых значениях М. Можно постараться подобрать модельную задачу с известным ответом, близкую к рассматриваемой. Тогда после проведения расчета мы будем иметь в распоряжении приближенное значение Sm и погрешность Rm = I - Sm- Может случиться, что имеются какие-то предположения о характере поведения этой величины, например что Rm ~ const -М- . (7) В таком случае можно подсчитать для некоторой последовательности значения MjRm и посмотреть, стабилизщэуются ли эти величины с ростом М. Если нет предположения о характере поведения погрешности в данной задаче, то можно применить следующую методику. Произведено вычисление интеграла с М\ и Мг = AMi отрезками разбиения. Показать, что здесь имеется в виду предельный переход при М2 -> со, Л = const. Задача 3. Пусть § 14. Правило Рунге практической оценки погрешности Возьмем координатную плоскость 1пА4, 1п ( -) (рис. 3.14.1), нанесем на нее точ-ки Если эти точки расположены хаотически, то это означает, что числа не настолько велики, чтобы в погрешности выделился главтхй член. Предположим, что асимптотическое неравенство (7) в данной области изменения параметра М выполняется с большой точностью. Из (7) следует, что тЫМ;  InMfe Рис. 3.14.1 после дифференцирования имеем dlxiM Заметим, что операция дифференцирования асимптотических равенств, вообще говоря, незаконна. Согласно (9) в 1шучае, когда (7) выполняется достаточно точно, точки (InAffc, 1п(1/ji?Affc)), получаемые в результате эксперимента на ЭВМ, должны лежать на кривой, тангенс угла наклона которой стремится к т. Если угол наклона кривой меняется резко, то еще нет оснований применять правило Рунге. Проверку справедливости предположения о характере поведения погрешности можно осуществлять и таким путем. Если справедливо равенство Rm ~ с/М *, (10) 5л/л-5д,~с(1-Л- )/М . (11) С другой стороны, если (11) выполняется при М Мо, то будет выполняться и (10). Поэтому вместо проверки практической выполнимости (10) можно производить проверку практической выполнимости (И), в частности, при помощи изучения графиков функций д{М) = {Smx - Sm)M или расположения точек InMfc, In (12) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [47] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |