|
| |
|
Слаботочка Книги § 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка точности Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то, как правило, погрешность квадратурной формулы может быть представлена в виде Д./) - Зм(Л = RmU) = J2k{f)M- +r{M), (1) fc=l где ii < ... < ii, r{M) = o(M *). Обычно при гладкой подынтегральной функции имеем 12-4 = = ц - ii-i ~ й, где s = 1 или s = 2. Например, в предположении ограниченности /( +)(а;) погрешность формулы трапеций, согласно (13.2), представляется в виде Пм{П = 2к /, 2m+2\ к-1 \ Предположим, что произведено вычисление SmU) при значениях М = Мо,..., Ml. Мы имеем равенства IU) = Sm, (/) + ЫПМ; + r{Mj), j = 0,...,l. k=l Образуем линейную комбинацию этих соотношений с некоторыми коэффициентами Cj, потребовав, чтобы Y.cj = l. (2) Получим соотношение I 1/1 \ I i{f) = J2jSMj{f)+J2Dk{f) Eir +Е-()- j=0 k=l \j=0 / j=0 Предположим, что выполняются равенства СуМр =0 при к = 1,...,1, (3) Заметим, что возможности определения значения т и вообгце проверки условия (10) путем численного эксперимента довольно ограниче- ЬМ 1 ны. Например, случаи Rm const - и Rm ~ практиче- ски неразличимы при таком рассмотрении, потому что в обоих случаях dhi I dhiM -+ 1 при М -> оо. тогда нл = Е-л-Д-) + (4) Если величиной YCjr{Mj) можно пренебречь, то Система соотношений (2), (3) образует систему из 1 + 1 линейных алгебраических уравнений с / -- 1 неизвестными, поэтому есть основания ожидать, что она имеет решение. Аналогия между рассматриваемой задачей и задачей интерполяции позволяет найти Cj в явном виде. Перепишем (1) в виде Qi(M-) = SM(.f)-r{M), где Qi{y)=I{f)~YDky. (6) Из соотношения (6) видно, что задача нахождения /(/) может формулироваться следуюпдим образом. Заданы значения многочлена Qi{y) при у = Mq,. .., Mj; требуется определить значение Qi{0) = I{f). Согласно интерполяционной формуле Лагранжа (гл. 2 § 2) имеем у - Vi поэтому Qi{)-YlQiiy,), где с = П;-, yj = Mr\ (7) j=0 1фз и, следовательно, Vi - Уз т = Qm = Y.myi) = Ел/)+Е-()- j=0 j=0 j=0 Мы получили соотношение (4) с выписанными явно значениями Cj. Применение описанного метода, иногда называемого методом Ромбер-га, может быть полезным в следующей ситуации. Пусть мы задались какой-то квадратурой, вычислили на ЭВМ и выдали на печать значения Sj2{f)i i = О,но оказалось, что нужной точности еще не достигли. Тогда можно попытаться получить приближение к интегралу, применив правило Ромберга по некоторой совокупности значений 5мо2 +1 (/), , 5мо2Р+1 (/) § 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае Существенную часть реально встречающихся подынтегральных функций составляют функции с особенностями, причем особенность может содержаться либо в функции, либо в ее производной, или функции, производные которых очень велики. Если такая нерегулярность подынтегральной Иногда применяют следуюгцую процедуру численного интегрирования. Задаются некоторым числом Mq и последовательно вычисляют приближенные значения интеграла по формуле трапеций /(/) при М, отрезках разбиения: = Mq 2. Удобнее всего вести вычисления по формуле 5ii:.(/)44iL(/)+/(+(B-A,). При каждом к после вычисления S{f) последовательно вычисляют ,SMT\f) по рекуррентной формуле Таким образом, последовательность вычислений определяется схемой г.(1) . . qW . (1) Мо Mi Мг Л/з c(2)i(2)\(2) Mi Mz Мз c(3)i(3) Вычисления значений 8щ{/) обычно продолжают до тех пор, пока при некотором к не окажется, что mm\S{f) - S {f)\ < е. Как правило, метод Ромберга существенно уступает по эффективности квадратуре Гаусса и методам интегрирования с автоматическим выбором шага (см. § 17). Задача 1. Показать, что S{f) есть результат применения правила Ромберга к значениям (/),..., (/). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [48] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |