|
| |
|
Слаботочка Книги функции не вызвана колебательным характером ее поведения, то неплохой результат дают стандартные программы с автоматическим выбором шага, которые будут обсуждаться в § 17. В случае расчета малой серии интегралов с особенностями обрап1,ение к этим стандартным программам может оказаться наиболее целесообразным способом решения задачи. Для вычисления же большой серии интегралов с особенностями необходимо привлечь исследователей более высокой квалификации. Укажем ряд приемов, которые могут оказаться полезными при рассмотрении этих вопросов. 1. Выделение весовой функции. Пусть вычисляется интеграл f{x)dx, где пределы интегрирования а и b могут быть и бесконечны- ми. Представим подынтегральную функцию в виде f{x) = д{х)р{х), где р(ж)-достаточно простая, а (а;)-гладкая функции. Далее применяем какой-либо из рассмотренных ранее способов вычисления интегралов с весом. Рассмотрим некоторые примеры. Пусть вычиспяется интеграл J --у====. Представим f{x) в виде Li х/Г X . - где функция является гладкой. Функцию л/1 + а;2 VI - х Vl + x2 можно рассматривать как весовую. Этой весовой функции соот- ветствует квадратура Мелера, часто называемая квадратурой Эрмита. Пусть вычисляется / f{x)dx, причем f(x) может быть представлена в виде д{х)х, где -1 < о < 1, (а;) - гладкая функция, (0) / 0. При вычислении интеграла по формуле трапеций с постоянным шагом Н = погрешность стремится к пулю медлеппее, чем М~. Один из возможных способов вычисления интеграла - обрап1,ение к квадзатурам Гаусса, соответствуюш,им данной весовой функции. 2. Можно пойти по пути разбиения интеграла на части и вычисления интеграла по каждой части при помоп1,и построений из § 7. Представим интеграл в виде м ,.дН / = 1д= g{x)x-dx, Н=-. Заменив функцию д(х) на интерполяционный многочлен / 9[х)р{х) dx д{Сд) / р{х) dx Ja-i 4-1 И квадратура для вычисления исходного интеграла приобретает вид /\{х)р{х) dxYl IPi) dx. (3) ./о у Ja-i Задача 2. Пусть вычисляется интеграл 1 g{x)b , dx, где о -малое число. b + x Показать, что при использовании формулы трапеций с постоянным шагом Qq - Oq-i = Н = погрешность оцонивается через const.шш{,}. (4) получим 1д ~ / Р(,)(Ж)Ж ЙЖ = Суммируя по q правые части в (1), получим квадратуру для вычисления исходного интеграла. В ряде случаев будет удобнее положить g{qH) = [qH) f{qH) и, таким образом, получить квадратуру, имеюгцую вид IY.D{q,H)f{qH). (2) Задача 1. Для квадратуры (2) получить оценку погрешности const шах о (ж)М~. [0,1] Далее будут рассмотрены более простые по виду способы вычисл(> ния интегралов от функций с особенностями. Описанный выше способ аппроксимации интеграла по значениям функции на фиксированной, в частности, равномерной сетке обладает определенными преимухцествами в случае, когда задача вычисления интеграла представляет часть более сложной задачи, например при решении интегральных уравнений путем сведения к решению системы линейных алгебраических уравнений. Иногда необходимая точность уже достигается при замене функции д{х) на отрезках разбиения па постоянную. В этом случае полагаем где Pi (ж)-некоторые многочлены, причем эти шхтегралы вычисляются в явном виде. Для ряда классов задач, где эти ггатегралы не вычисляются в явном виде, может оказаться разумным найти эти интегралы при помощи численного интегрирования. Эта дополнительная работа оправдывается, если получившиеся формулы используются многократно, например, при вычислении большой серии интегралов, при вычислении кратных интегралов как повторных (см. гл. 5), а тшсже при решенш! иптегра,льных уравнеии!!. 3. Пусть теперь вычисляется IUf)= I f{x)e7cp{iujx)dx, Jo где ш -большое чиcJЮ, /(.т)-достаточно гладкая функция. Будем рассматривать функцию expliijx} как весовую. Представим интеграл в виде I =У1д, 1д= ./ (х) exp{iujx} dx, для вычиатеиия интеграла 1д применим квадратуру типа (7.2). 4. В некоторых случаях подынтегральную функцию можно предста- вить в виде /(ж) = G(x)-Ь (/(ж), причем / G{x)dx берется в явном виде, а д{х) - гладкая функция. Пусть вычисляется интеграл Возьмем G(x) = In .т. Тогда функция д{х) имеет вид , . ж1пж Задача 3. При - ag i = Я квадратура (3) для этого интеграла имеет вид / E.*,)H(f)-%()). где [q - 1)Я Су ЧН- Получить оценку погрешности \Rm\ const-шах д{х) М . В рассматривавшихся выше случаях коэффициенты квадратур имеют вид Pi(x)p(x)(lx, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |