|
| |
|
Слаботочка Книги Полная погрешность ро = * - равная разности между реально получаемым и точным решениями задачи, удовлетворяет равенству Ро = Р1+Р2 + Рз- Во многих случаях под термином погрешностг> того или иного вида понимают не рассмотренные выше разности между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например, в скалярном случае полагают
при таких обозначениях вместо (3) получаем /50 Pi +P2 +Р3- в других случаях решение / и приближения /, /,* оказываются элементами некоторых функциональных пространств, часто различных. Например, / может быть элементом пространства F непрерывных на [О, 1] функций, а Ih - элементом пространства F/, сеточных функций Д, определенных в точках х,1 = nh, п = О, 1,..., Л~; -целое. Тогда в качестве меры погрешности вводят некоторую меру близости p{zi, Z2), где zi и Z2 могут быть элементами как одного, так и различных пространств. Требования на эту меру близости - возможность принять ее за естественную меру погрешности и выполнение неравенства треугольника рЫ, Zs) p{zi, z-y) + p{z2, z-s) (5) при любых zi, Z2, z-s e F, Fh. При этом не накладьшается условие: если p{z\, Z2) = О, то z\ = Z2; таким образом, функция p{zi, zo) не обязательно является расстоянием в некотором метрическом пространстве. Например, можно нолюжить р(/ь /2) = max - /2(n/i) независимо от того, каким пространствам принадлежат /1 и /2. Может возникнуть такой вопрос но поводу проблемы исследования неустранимой погрешности: зачем изучать неустранимую погрешность решения задачи, если она неустранима ? По крайней мере такая точка зрения кажется оправданной, если математик получает для численного решения задачи уже готовые уравнения, не участвуя в обсуждении физической постановки задачи. Это возражение нельзя признать разумным. Часто математик сам занимается исследованием постановки задачи, анализом и унрош;ением рассматриваемых уравнений. Поскольку все явления в природе взаимосвязаны, в принципе невозможно математически точно описать никакой реальный процесс, происходяпщй в природе. Однако анализ влияния различных факторов на погрешность решения может позволить получить простейшее описание процесса с допустимой погрешностью. Обычно математик имеет представление о требуемой окончательной точности результата, и, исходя из этого, он может производить необходимые упрощения исходной задачи. Если математик не участвует в обсуждении физической постановки задачи, то представление о величине неустранимой погрешности ему все равно необходимо по следующей причине. При решении большинства задач нет особого смысша применять метод решения задачи с погрешностью, существенно меньшей, чем величина неустранимой погрешности. Поэтому, имея представление о величине неустранимой погрешности, можно разумно сформулировать требования к точности результата численного решения задачи. Непомерные требования заказчика к точности результата часто вызваны тем, что он имеет преувеличенные представления о возможностях ЭВМ и поэтому серьезно не продумывает, что все-таки ему нужно. Такие требования часто снимаются в процессе обсуждения задачи на основе следующих соображений: 1) при более детальном подходе к изучению задачи в целом оказывается, что столь высокая точность и не нужна; 2а) математическая модель явления настолько груба, что требовать столь высокую точность бессмысленно; 26) параметры модели не могут быть определены с высокой точностью; 3) заказчику нужен вообще не количественный, а качественный результат, например такого типа: будет ли работать данное устройство в заданном режиме или нет. Разберем некоторые встретившиеся нам реальные задачи. К решению была предъявлена система интегральных уравнений с сильно осциллирующими ядрами с чис7юм перемен у ядер порядка = N = 10. Требовалось получить решение с относительной погрешностью (определение см. далее) порядка 10~®. Эта система описывала режим работы некоторого оптического устройства. Решение такой системы интегральных уравнений непомерно сложно даже для современных ЭВМ, поэтому бьш предпринят ее подробный анализ. Оказалось, что относительные погрешности характеристик системы, обусловленные технологией изготовления устройства, являются велич1шами порядка 10~, поэтому нет смысла решать задачу со столь высокой точностью, как требовалось вначале. В результате требования к точности искомого решения были снижены до относительной погрешности 10. Однако и такая точность все равно еще требовала непомерных затрат машинного времени. Дальнейший анализ задачи показал, что по существу заказчика интересовал ответ только на один вопрос - будет ли данное устрса ство устойчиво функционировать или нет? Естественно было предположить две возможности: 1) при малых значениях параметра А = 1/7V решение плавно зависит от этого § 2. Запись чисел в ЭВМ Современные ЭВМ оперируют с числами, записанными в одной из приведенных ниже форм. Первая форма записи -с фиксированной запятой: все числа в ЭВМ имеют модуль, меньший 1; число знаков после занятой фиксировано. Таким образом, машина оперирует с числами fc=i здесь q - целое - основание системы счисления, ai, ..., а< - целые в нре- = ±J]afcg-= = ±(ab...,af); (1) делах О < afc < 5- параметра, поэтому при А, меньших достаточно малого Ао, система б}дет работать в одном режиме - или всегда устойчиво, или всегда неустойчиво; 2) при малых значениях А решение существенно меняется при изменении этого параметра, и интервалы значений параметра А, где режим работы устойчив, перемежаются с интервалами значений, где режим работы неустойчив. В связи с этим были предприняты расчеты при довольно крупном значении А = 1/10 с последующим уменьшением значений А с тем, чтобы понять, какая из двух указанных вьш1е возможностей реализуется. Расчеты показывали, что при изменении А в пределах от 10~ до 10~ имел место устойчивый режим работы устройства и был сделан вывод (подтвержденный потом экспериментально, после конструирования реального устройства) об устойчивости его работы при А - 10 . В случае второй возможности, вследствие грубости изготовления устройства, вряд ли удалось бы вообще исследовать вопрос об устойчивости его работы при А = 10 . Другой, па первый взгляд выглядящий курьезным, но на самом деле весьма типичный пример реальной ситуации. Перед математиками была поставлена задача создания алгоритма и программы быстрого (менее чем за 1 с мшлинпого времени) вычисления интегралов специального вида с относительной погрешностью 10~. Эта задача была ими успешно решена, т. е. был разработан метод вычисления таких интегралов и на его основе создана стандартная программа, в свою очередь исследователи, поставившие задачу, не ск}нясь на затраты машинного времени, для проверки качества предложенного математиками метода и надежности программы сами вычислили приближенно один из таких интегралов с относительной погрешностью, по их мнению, 10~. Но оказалось, что все попытки решить эту, так называемую тестовую задачу с погрешностью, лучшей, чем 10 , с помощью созданной математиками программы оканчивались не}дачей. Возникло предногюжение о погрешности в самой тестовой задаче. Оказалось, что число тг бььчо взято равным 3,14, что вносило в тестовый пример неустранимую погрешность, которая, естественно, не могла быть устранена никакими усилиями математиков, создававших алгоритм и программу. 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |