|
| |
|
Слаботочка Книги g{t) = fMtWit). За счет ьнюжителя fit) происходит устранение особенностей подынтегральной функции в отдельных точках. Произведя в интеграле (5) замену переменной х = t, получим При к>2 интеграл / \g [t)\dt конечен, поэтому погрешность формулы Jo трапеций имеет порядок 0{М~). С увеличением к растет порядок производных g t), для которых интеграл / \g\t)\ dt ограничен, поэтому можно применять квадратуры все более высокого порядка точности. Если к очень большое, то производные функции g{t) хотя и конечны, но очень большие, следовательно, должна соблюдаться определенная пропорция между величиной к и чис7юм узлов Л. Необходимость соблюдения осторожности при употреблении очень больших к видна хотя бы из следующего. Постоянный шаг tg - = 1/М в интеграле (6) соответствует узлам интегрирования = ip{q/AI) = {q/M) в исходном Величина / \g {x)\dx будет конечна, и можно показать, что погреш- пость вычисления интеграла / д{х) dx по формуле трапеций с посто- янным шагом - flf;-i = имеет порядок 0{М~). Чтобы по- грешность формулы Симпсона имела порядок 0(М~*), следз-ет взять G{x) = (1- х)\пх. В случае f{x) = [x+b) e, Ь -малое число, целесообразно взять G{x) = (Выч /(г))(ж - ЫУ + (Вычьг/Шх + Ь1)-\ Достигаемое здесь расширение области аналитичности подынтегральной функции особенно эффективно при использовании формулы Гаусс;а. 5. Другим способом устранения особенности подынтегральной функции является замена переменной интегрирования. При замене переменных X = (p{t), (/5(0) = О, (/5(1) = I исходный Ш1теграл I - f{x)dx преобразуется к вцлу / 9(i)dU (6) ф{1) = t, М = 20 Рис. 3.16.1 6. Как мы уже видели в § 11, скорость сходимости при вычислении интегралов от функций с особенностями повышается также за счет распределе1П1я узлов интегрирования. 7. В некоторых случаях приходится идти по пути сочетания некоторых из описанных способов. Пусть вычисляется интеграл д{х)х exp{iw.T} dx, где w -большое число, д{х)- гладкая функция, у(0) ф О, \а\ < 1. Наличие пlOжитeля expliwx} требует выделения его как весового. Наличие ьиожителя х требует принятия спецнальных мер для интегрирования в окрестности пуля. Замена переменных х = ip[t) в данном случае является неприемлемой, посюшьку для соответствующей весовой функции exp{icJ3;} невозможно вычисление в явном виде коэффициентов квадратурных формул. Здесь целесообразнее разбить отрезок интегрирования на неравные части, соответствующие оптимальному распределению узлов при вычислении интехрала от функции х , и применить на каждой части 1П1черполяционные квадаатурные формулы (§ 3), соответствуюпще весовой функции exp{ia;x}. В случае интегралов типа / д{х)х~ shiuix dx при о > 1, д{х) - гладкой функции, г/(0) ф О, -гакой способ будег неприемлемым, поскольку в окрестности ах)чки х = О неинтегрируемая функция х не аппроксимируется многочленами. Здесь целесообразно раз- бить исходный интеграл на части J Д 1- Для вычисления второго интеграла разумно применить процедуру, которая описана выше. В первом интеграле функция sinujx не играет роли осциллирующего множителя, поскольку при таком выборе е она имеет на [О, е] конечное число колебаний. Поэтому этот интеграл можно вычислять, например, распределив узлы интегрирования соответственно оптимальному распределению для функции 5(0)а1Ж~ , аппроксимирующей подынтегральную при малых LJX. 8. Упомянем метод Ромберга. Погрешность формулы трапеций с постоянным шагом при вычислении интеграла / g{x)xdx для гладкой интеграле, поэтому при больших к используется мало значений подынтегральной функции в правой части отрезка [О, 1] (рис. 3.16.1). жю a;i5 х, хш ; I i 1 ; i 1{а)= f -d., ja х-а где а€ (А, В), д{и) 0. Интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел \ja X - а ja+e Х-а ) Интеграл ьюжет быть записан как сумма интеграла по отрезку, симметричному относительно точки а, и интеграла от гладкой функции по оставшейся части. Для простоты предполагаем, что первый интеграл преобразован к виду / dx. Если функция д{х) удовлетворяет условию ./-6 X Гельдера в точке х = О, т.е. д{.т) - .9(0) < А.т , а > О, то последний д{х) - д(-х) интеграл равен несингулярному интегралу / -их. В частного X сти, если -гладкая функция, то новая подынтегральная функция Я{х) - 9(-ж) - также является гладкой. В ряде случаев, например при решении гштегральиых уравнений с сингулярными ядрами, возникает следующая ситуация. Значения функции д{х)) задаются иа некоторой фрпссированной сетке. Исходя из гшформации об этих значениях, требуется вычислять значения интеграла 1(a) при раз.пич11ых а. Если д(х) - достаточно гладкая функция, то здесь можно поступить следующим образом. Разбиваем отрезок [Л, В\ иа части [Ло, Ai],..., [Ад/ 1, Ам\, Ао = А, Ам = В-На каждой из частей [A i, Л,] приблилсаем функшпо 9(.т) рштерполящюнным многоч.пеном L{x). При этом требуем, чтобы при всех q было выполнено условие 1ЦА,) = £+\А,)=д(А,). Исходный интеграл заменяем суммой интегралов Интегралы ig вычисляем в явном виде. Если а G (Ag i, Л,), то соответствующий рштеграл i,j следует рассматривать как сингулярный. Если а = Лд, то функции д{х), дф) ф О, -1 < а < 1, представляется в виде DiN~ + Z)2iV~2~ Н----, и имеются основания для применения приеьюв, положенных в основу метода Ромберга. 9. Решение ряда задач сводится к вычислению сингулярных интегралов типа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [50] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |