|
| |
|
Слаботочка Книги результатов расчетов с ео и ej, мы не получим информации о величине погрешности интегрирования в той области, где дроб.пения шага не произошло. При условии eUeo2-(-+) (8) шаг дробится всюду, однако отсюда не следует, что сравнение результатов расчетов с ео и любым eq, удовлетворяюш,им (8), дает надежную гарантию точности результата. Задача 2. Пусть eq ео- Подобрать постоянные ci, С2, с такие, что при I С2 на [с, в] приближенные значения Seoif) и Si{f) интеграла, соответствуюш,ие ео и ej), будут одинаковыми, а погрешность отлична от нуля. Если ,f\x) непрерывна, то при eq = ео2~(* и при введении в алгоритм условия уменьшения максимального шага, пропорционального i/(s+i) можно предложить и обосновать аналог правила Рунге оценки погрешности здесь m-Ь 1 - порядок главного (при шах(ад - Oq-i) 0) члена погрешности квадратуры (1). Литература 1. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. - Минск: Наука и техника, 1983. 2. Крылов В. И., Шульгина А. Т. Справочная книга по численному интегрированию. - М.: Наука, 1966. 3. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т.1. - М.: Наука, 1976. 4. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы.- М.: Наука, 1981. 5. Никифоров А. Ф., Суслов С. К., Уваров В. Б. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной.-М.: Наука, 1985. 6. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции.- М.: Наука, 1979. 7. Никольский С. М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1979. 8. Stroud А. Н. and Secrest D. Gaussian Quadrature Formulas. - Englewood Cliffs, N. Y.: Prentice-Hall, 1966. ......... Глава 4 - Приближение функций и смежные вопросы Непрерывная функция не всегда может быть хорошо приближена интерполяционным многочленом Лагранжа. В частности, последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа по равноотстоящим узлам не обязательно сходится к функции даже в том случае, если функция бесконечно дифференцируема. В тех случаях, когда сходимость имеет место, часто получение достаточно хорошего приближения требует использования полиномов высокой степени. В то же время, если для приближаемой функции удается подобрать подходящие узлы интерполяции, то степень интерполяционного многочлена, приближающего функцию с заданной точностью, может быть значительно снижена. В ряде конкретных случаев целесообразно приближать функцию не путем интерполяции, а путем построения так называемого наилучшего приближения. Проблемы, связанные с построением наилучшего приближения, и будут рассмотрены в настоящей главе. § 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве Сформулируем задачу построения наилучшего приближения на абстрактном языке. Пусть имеется элемент / линейного нормированного пространства В.. Требуется найти его наилучшее приближение линейной ком- бинацией cjQj данных линейно независимых элементов gi,..., дп Е В.. J = l п Это означает: найти элемент (gj такой, что = Д= inf Cl,...,C По-другому это можно обозначить следующим образом: Если такой элемент существует, то он называется элементам наилучшего приближения. Теорема. Э.аемент наилучшего приближения существует,. Доказате.пьст.во. Вследствие соотношений (следствие из неравенства треугольника) п п п п / - Е - Ik - ЕI Е - зз\ Е14 - ы\ функция F/(ci,..., c ) = f-YCjCjj является непрерывной функцией аргументов cj при любом / G В.. Пусть с-евклидова норма вектора с = (ci,..., с ,). Функция Fo(ci,..., с ,) = llciffiH-----Ьс (/ непрерывна на единичной сфере с = 1 и, следовательно, в некоторой ее точке (ci,...,c,i) достигает своей нижней грани F по сфере, причем F ф О, так как равенство F = \\cigi + + cffnil = О противоречит линейной независимости элементов gi,..., д- Для любого с = (ci,..., Сп) ф (О,..., 0) справедлива оценка 11с1<71 + + CngnW = Foici,..., Сп) - cFo MF- Пусть 7 > 2\\f\\/F. Функция Fy(ci,..., с ) непрерывна в шаре с( 7; следовательно, в некоторой точке шара {ci,...,Cn) она достигнет своей нижней грани по шару. Имеем F F/(0, ...,0) = /. Вне этого шара выполняются соотношения F/(ci, . . . , С ) II С1(/1 + + СпУп II - 11/11 > > (211/11/1Й) IIFII - 11/11 = 11/11 > F . Таким образом, вне этого шара F(cb...,c )F° = F/(c?,...,c°) при всех возможных с ..., Сп- Теорема доказана. Элементов нaилyШIeгo приближения, вообще говоря, может быть несколько. Пространство R называется строго нормированным, если из условия 11/ + р = 11/11 + 1Ы1, 11/1иЫ1о следует / = ад, а > 0. Задача 1. Доказать, что в случае строго нормированного пространства В. элемент наилучшего приближения единствен. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |