|
| |
|
Слаботочка Книги Задача 2. Доказать, что пространство Lp{{0, 1), q{x)), q{x) О почти всюду, с нормой \\j,= l\f{xWQ{x)dx строго нормированное при 1 <р < оо. Рассмотреть отдельно простейший случай гильбертова пространства V = 2. § 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении Для гильбертова пространства элемент наилучшего приближения единствен (см. задачу 1.2) и проблема его нахождения формально сводится к решению системы линейных уравнений. Наиболее простой способ получения этой системы следуюш;ий. По определению коэффициенты aj элемента наилучшего приближения реализуют минимум выражения Приравнивая нулю производные по Reoj и Imof, получаем искомую систему уравнений для определения а. Вследствие суп];ествования и единственности элемента наилучшего приближения, эта система имеет единственное решение. Построим эту систему и исследуем вопрос о единственности ее решения несколько другим способом. Для простоты изложения ограничимся случаем вещественных / и gj. Пусть aj = aj + i0j, aj, /?у - вещественные числа; имеем / - = / \ п ( / ~ j9j ) - YlfiSj- Положим -;=1 / -/=1 Ф(а1,..., а ) = f-ajSj Если /i и /2 вещественны, то -Ь i/2p = (/i-Ь i/2, .fl + i./2) i(/2, /1) - i(/i, /2) -f (/2, /2) = ll/ilP -f II/2IP, поэтому ih, h) + (1) Согласно (1) имеем равенство Ф(а1,..., On) = Ф( Ь . - , о; ) + Ylii Отсюда следует, что inf Ф(а1,..., а ) inf Ф(о;1,..., ai,...,a,i ai,...,an В то же время inf Ф(о;1,..., inf ( 1, , гг), ai,...,OLn а\,...,ап поскольку в правой части берется нижняя грань по более широкому множеству всевозможных параметров ai,...,a. , а в левой- по множеству веш,ественных параметров. Из (2) и (3) следует, что исходная задача сводится к нахождению inf Ф(о;1,..., а ). Qi,...,a В точке минимума должны выполняться условия дФ/да/, = 0. Имеем да/: Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно коэффициентов aj = Qj, соответствующих элементу наилучшего приближения CLjiaj, 9к) = (/, (Jk), к=1,..., п. Задача 1. Доказать, что коэффициенты Uj, соответствуюпще элементу наилучшего приближения, являются решением (4) и в том случае, когда / и gj не обязательно вещественны. Матрица Gn = G{gi,...,gn) = [{gj, дк)] называется матрицей Грама системы элементов Поскольку {gj, дк) = {дк, 9j), то матрица Грама является эрмитовой. Лемма. Если элементы дх, -. , дп линейно независимы, то матрица Gn положительно определена. Доказательство. Пусть с = (ci,с )-- произвольный вектор с вещественными компонентами. Имеем равенство 3=1 S=l fc=l j,k=l {GnC, с) - Если элементы gj линейно независимы, то = О только в том случае, когда все Cj = 0. Таким образом, [GnC, с) > О, если с О, и согласно определению матрица С является положительно определенной. Поскольку матрица С положительно определена, то ее определитель отличен от нуля и, следовательно, система (4) имеет единственное решение. Задача 2. Доказать неравенство G{gi, -, On+i) G{gi,gn){Sn+i: (Jn+i)- При практическом приближении функций нужно проявлять осторожность при выборе системы функций gj. Оказывается, что при неудачном выборе такой системы вычислительная погрешность коэффициентов Gj может достигать катастрофических размеров, и с добавлением еговых функций дп получаемое наилучшее приближение будет все хуже приближать заданную функцию. Дело заключается в следующем. Матрица G при неудачном выборе системы функций gj имеет большой разброс собственных значетпш, т.е. отношение максимального (по модулю) собственного значения к наименьшему (по модулю) велико; вычислительная погрешность при решении систем с такой матрицей возрастает по крайней мере пропорционально этому разбросу. Например, в случае отрезка [-1, 1], веса р{х) = 1 для системы функций gj = х разброс собственных значений матрицы Gfi превосходит а(л/2-f 1) /п, где а, 6 - некоторые положительные постоянные. Более детальный анализ задачи показывает, что в качестве систем функций gj целесообразно брать системы ортонормированных по отношению к некоторому, возможно другому, скалярному произведению, функций или в каком-то смысле близких к ним. Если элементы д образуют ортонормированную систему {д/., gj) = Sj., то система (4) приобретает вид aj = if,9.i}- (6) Тогда наилучшее приближение записывается в форме S = Yl.f\ 9з)9з и имеется следующее удобное представление для величины / - д\\: II/ - 911 = (./ - tajgj, / - fjgj) = (/, /) - fo,f = (/, /) - fK/, 9j)f. 3=1 3=1 3=1 3=1 Последнее выражение совпадает с [GnC, с), поэтому 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [54] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |