|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [56] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 I .f{x)g{x)dx Jo при Л -> оо.) Функции ggixi) = exp{27riQa:;} при О q < N образуют ортонормированную систему относительно введенного таким образом скалярного произведения. Действительно, (=0 При q ф j, суммируя геометрическую прогрессию, имеем ехр{27г1( ехр < 27ri [ь отличен от {9я, 9з) = Ч при Qq,3<N. (6) (при о q, j < N, q Ф j знаменатель отличен от 0). Поскольку {дд, дд) = 1, то в итоге имеем Поскольку в узлах сетки ещ){2шдxi} = eKp{2-Kiqxi} согласно (3), то в совокупности имеем Agexp{2iTiqxi} = Ад exp{2-Kiqxi}. Таким образом, при Ад, определяемом соотношением (5), функция Agexi){27riqxi} является периодической по q с периодом Л и, следовательно, сумма N~-l+m Agexp{2Triqxi} не зависит от m и совпадает с Лемма доказана. Если с самого начала была задана функция, определенная toj№ko на сетке, то на этой сетке ее можно также представить в форме (1). Действительно, такую функцию можно продолжить на всю прямую, доопределив ее между узлами сетки путем линейной интерполяции. Для непрерывной кусочно-дифференцируемой функции выполняется (2), поэтому в точках сетки после приведения подобных членов получим (4). Определим скалярное произведение для функций на сетке следующим образом: N-i 1=0 (Множитель l/N введен для согласованности получаемых соотношений с непрерывным случаем: если f{x) и д[х)-непрерывные функции на отрезке [О, 1], то вследствие интегрируемости f{x)g{x) по Риману /(ж) ехр{-27rija;} dx. поэтому Aj-+aj = / /(ж) ехр{-27rija;} da; ./о при iV -> оо и фиксированном j. Покажем, что соотношение fix)J2Ajexp{27rijx} (8) в общем случае не имеет места. Пусть /(.т) = ао-ba i ехр{-27г1а;}. Из (4) получаем Aq = ао, Aj\r i = a i, остальные Aj = 0. Таким образом, правая часть (8) есть ао-Ь a i exp{27ri(iV - 1)а,}. Она совпадает с /(ж) в точках xi, но, как правило, далека от нее вне этих точек. Воспользовавшись утверждением леммы, перепишем (4) в виде /(= Е Aqexp{27riqxi}. (9) -N/2<qN/2 Если /(ж)-достаточно гладкая функция, то величины \aj\ с ростом j убывают быстро, поэтому Ад и а при малых q. Кроме того, при гладкой /(ж) величины Ад и Ug малы при больших q. Задача 1. Пусть /(ж) непрерывно дифференцируема. Доказать, что [0,1] fix)- Yl Agexp{27riqx} -N/2<qN/2 при N GO. Напомним, что это приближенное равенство обращается в точное равенство в точках сетки. Способ аппроксимации функции /(ж) PS У Agexp{27riqx} -ЛГ/2 7ЛГ/2 носит название тригонометрической интерполяции. Соотношение (9) называют конечным или дискретным рядом Фурье, а коэффициенты Ад - дискретными коэффициентами Фурье. Умножая (4) скалярно на gj, получим равенство Aj = if, OJ) = TrT.fexp{-27rij.tJ. (7) Выражение в правой части образует квадратурную сумму для интеграла Игнорирование установленного нами факта о равенстве функций exp{27ri9ia;} и exp{27riQ2a;} в узлах сетки при qi-q2 = kN часто является источником получения неверных соотношений. При решении одной инженерной задачи потребовалось определить первую собственную частоту колебаний конструкции. Было принято решение написать нестационарное уравнение, описывающее процесс колебаний, вывести на печать график и из рассмотрения графика определить частоту. Соответствующее уравнение, которое мы условно будем обозначать х = F(x}, решалось методом конечных разностей. Для контроля над надежностью результата производился повторный расчет с вдвое меньшим шагом. Графики кривых, полученных в результате расчетов, совпали с точностью до 10%. Однако из сравнения с экспериментом оказалось, что полученная частота отличается от истинной в десятки раз. Причина недоразумения заключалась в том, что график решения строи.лся с шагом l/N, существенно большим периода колебаний решения задачи. Решение бы.ло близко к функции const-ехр{27г1(/<}, где q/N близко к четному числу 2к. Поэтому как на сетке с шагом l/N, так и на вдвое более мелкой с шагом 1/(2iV) по.лучался график одной и той же функции const- exp{2ni{q - 2kN)t}. В другом случае несоответствие со здравым смыслом возникло при расчете диаграммы направ.ленности антенны. Предпринимавшиеся попытки найти ошибку в программе, методе решения или физическом описании задачи не приводи.ли к по.ло-жительному результату. Объяснение оказалось тем же: график сильно колеб.лющей-ся с15ункции вьщавался на очень редкой сетке. На рис. 4.3.1 сплошной кривой изображен реальный график сечения диаграммы направ.ленности, пунктиром - график, который строился путем интерполяции полученных расчетных значений х и противоречил эксперименту. Существует соответствие между задачей приближения функций линейными комбинациями многочленов Чебышева и тригонометрическими многочленами. Пусть на отрезке [-1, 1] функция f(x) приближается ли- нейными комбинациями ajTj(a:;). Замена переменных х = cos* сводит исходную задачу к задаче приближения функции /(cosi) линейной ком- т-1 т-1 бинацией ajTj{cost) = ajcos(ji). Справедливо равенство J-1 VI - Jo  Рис. 4.3.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [56] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |