|
| |
|
Слаботочка Книги § 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных Если а - точное значение некоторой величины, а о* - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения а* называют обычно некоторую величину А (о*), про которую известно, что \а* - а Д(о*). Относительной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину 6[а*), про которую известно, что а - а 8{оГ). Относительную погрешность часто выражают в процентах. Ecjra о -известное чис7Ю, например тг, то иногда говорят об абсолютной Д(а) и относительной (5(a) погрешностях задания этог числа: числа Д(а) и (5(a) называют соответственно абсолютной и относительной погрешностью числа а, если про них известно, что а* - о (o)i--- 5{а). При операциях над числами х с \х\ < 1 могут появляться числа у с \у\ 1, и тогда произойдет остановка работы ЭВМ ( машинный останов или АВОСТ ). Чтобы избежать этого, производится масштабирование задачи - введение новых масштабов. Иногда заранее нельзя указать нужные масштабы; в других случаях введение очень больших масштабов с самого начала приведет к тому, что в исходных данных большое количество первых из ai обратится в нуль и произойдет суп],ественная потеря информации. Поэтому часто предусматривают изменение масштабов уже в процессе решения задачи. Вторая форма записи, наиболее распространенная в ЭВМ, предназначенных для научных расчетов, -с плавающей запятой: машина оперирует с числами x = ±qPY.= ±( Ь ); (2) fe=i порядок числа р удовлетворяет неравенству р ро. Наиболее распространен случай двоичной системы счисления, когда q = 2. При работе в режиме с плавающей запятой пользователь получает дополнительные удобства, так как не надо заботиться о масштабах; однако при этом происходит некоторое замедление работы ЭВМ. §3. Абсолютная и относительная погрешности 23 Иногда в литературе абсолютной погрешностью называют величину п* - а, а а ~ а относительной-величину -; мы будем придерживаться исходных опре- делений, и поэтому у нас всегда О А(а*), (5(а*). По ходу изложения материала будут употребляться выражения: боль-гиюе число, очень большое число, сильный рост функции. Чаще Bceio число х мы называем большшц если \х\ 2> 1, но отаюсн-тельная погрешность результата решения задачи порядка .г2~* является допустимой. Если относительная погрешность порядка \x\2~* является недопустимо большой, то число X называем очень бо-пьшим. Выражение функция сильно растет чаще всего означает, что она возрастает в очень большое число раз. Зничтцими -цифура-лш числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Пример. У чисел а* = 0.03045. а* - 0,03045000 значащими цифрами являются подчеркнутые цифры. Число значащих цифр в первом случае равно 4. во втором - 7. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Примеры, а* = 0,03045, Л(а*) = 0,000003; а* = 0,03045000, Л(а*) = 0,0000007; подчеркнутые цифры являются верньими. Иногда уславливаются называть значащую цифру верной, если абсолютная погрешность не превосходит половины едишш разряда, соответствующих этой цифре. Если все значащие цифры верные, то говорят, что число записано со всеми верными цифрами. Пример. При а* = 0,03045, А(а*) = 0,000003 чиаю а* записагю со всеми верными цифрами. Иногда употребляется термин число верных циф>р после запятой: под-считывается число цифр после запятой от первой цифры до последней верной цифры. В последнем примере это число равно 5. Довольно часто информация о некоторой величине задается пределами ее измерения: 10, 02, (1) например 1,119 а 1,127. Принято записывать эти пределы с одинаковым числом знаков после запятой; так как обычно достаточно грубого представления о погрешности, то в числах ai, а2 часто берут столько значащих десятичных цифр. сколько нужно, чтобы разность ai - a-z содержала одну-две значащие цифры. Употребляемые далее оговорки часто , обычно , принято специально употребляются нами, чтобы не создавалось впечатления об обязательности каких-то стандартных форм задания информации о величине погрешности. Эти формы задания информации рассматриваются лишь потому, что они наиболее распространены, а следовательно, наиболее удобны при контактах. Абсолютную или относительную погрешность обычно записывают в виде числа, содержащего одну или две значащих цифры. Информацию о том, что а* является приближенным значением числа а с абсолютной погрешностью А (о*), иногда записывают в виде а = а*± А(о*); (2) числа а* и А(а*) принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой. Например, записи а = 1,123 ±0,004, а = 1,123 ± 4 10 относятся к общепринятым и означают, что 1,123 - 0,004 а 1,123 -f 0,004. Соответственно информацию о том, что а* является приближенным значением числа о с относительной погрешностью 6(а*), записывают в виде а = а*{1±6{а*)). (3) Например, записи а = 1,123(1 ± 0,003), а = 1,123(1 ± 3 10 ), а = 1,123(1 ± 0,3%) означают, что (1 - 0,003)1,123 а < (1 + 0,003)1,123. При переходе от одной из форм записи к другой надо следить, чтобы пределы измерения, указываемые новой формой записи, были шире старых, иначе такой переход будет незаконным. Например, при переходе от (1) к (2) должны выполняться неравенства а* - А(а*) < oi, 0-2 а* + А(о*), при переходе от (2) к (3) - неравенства а*(1 - ё{а*)) < а* - А{а*), о* + Д(а*) < а*(1 + 6{а*)), при переходе от (3) к (2) должны вьшолняться противоположные неравенства (пределы всегда расширяются!). Следует различать принятую нами выше формально математическую и обиходную терминологии в рассуждении о величине погрешности. Если 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |