|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [60] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 Qnix) = Pn+iix) - an+iTn+i (-3) 22?г+1 () Действительно, выражение в правой части является многочленом степени п, поскольку коэффициент при х равен нулю. Точки Xi = + ;и г = О,..., п, образуют чебышевский альтернанс. 5. Пусть [о, Ь] = [-1, 1] и /(ж)-нечетная функция относительно точки ж = 0. Покажем, что здесь MHoro4jreH наилучшего приближения любой степени нечетен, т. е. записывается в виде суммы нечетных степеней ж. Действительно, пусть Qnix)-многочлен наилучшего приближения для fix). Имеем /(ж) -Q (£) Enif). После замены ж на -х и умножения выражения под знаком модуля на -1 получим \-fix)-i-Qni-x))\Enif), иначе - i~Qni-x))\ < Enif). Следовательно, многочлен -Qni-x) также является многочленом наилучшего равномерного приближения. По теореме единственности имеем Qnix) = -Qni-x), что и требовалось доказать. 6. Пусть требуется приблизить функцию /(ж) = х на отрезке [-1, 1] многочленом наилучшего приближения первой степени. Предшествуюгцим результатом можно воспользоваться двояко. Один путь: поскольку искомый многочлен наилучшего приближения будет нечетным, то его достаточно отыскивать среди многочленов вида Qi(.t) = аух. Второй путь: поскольку многочлен наилучшего приближения второй степени для данной задачи оказывается многочленом первой степени, то исходная задача эквивалентна задаче построения многочлена наилучшего приближения второй степени. Последняя задача наилучшего приближения многочлена многочленом степени, на единицу меньшей, уже нами рассматривалась. Задача 6. Пусть /(ж) - четная функция относительно середшм отрезка приближения [-1, 1] : /(ж) = /(-ж). Доказать, что многочлен наилучшего приближения Qnix) четен. Задача 7. Функцию /(ж) = ехр{ж} приблизить на отрезке [-1, 1] многочленом наилучшего приближения третьей степени. Примечание. Из решения предыдущей задачи следует, что этот многочлен имеет вид а + агж. Задача эквивалентна задаче наилучшего приближения функции = на отрезке [О, 1] многочленом вида аоЧ-агУ- 7. Очень часто бывает, что многочлен наилучшего равномерного приближения точно найти не удается. В этих случаях ищется многочлен, близкий к Можно получить другое представление этого многочлена наилучшего приближения, записав его в виде P (.t) = ri,r,(.t). Введем обозначения Qm{x) = YdjTjix) при т п. Всякий многочлен Qm{x) является многочленом наилучшего равномерного приближения степени m для многочлена Qm+i{x), при этом i5 (g +i) = g, +l - QmW = \dm+l\. (4) Это следует, например, из формулы (3) или непосредственно из теоремы Че-бьпнева. Отсюда вытекает, что Qn~i{x) = P i(a;), Qn~2{x) = Рп-гС) и т.д. многочлену наилучшего приближения. Рассмотрим примеры такого рода. Для простоты рассматриваем случай приближения на отрезке [-1, 1]. Разложим функцию /(ж) в ряд по ортогональной системе многочленов Чебышева: f{x)JdjTj{x). Отрезок этого ряда .;=о невысокой степени часто обеспечивает неплохое равномерное приближение. Иногда бывает затруднительно вычислить явно коэффициенты dj, но зато известно разложение Тейлора Пх) = Уагх, сходящееся при а; 1. Тогда применяют следующий метод (назьшаемьш иногда телескопическим). Выбирают некоторое п такое, что погрешность формулы ./=0 является достаточно малой. Затем приблилают многочлен P,j(.t:) многочленом наилучшего равномерного приб.ли>кения P i(.7;). Согласно формуле (3) имеем Pn-i{x) = Р (:г) - a X (a;)2i- . Поско.льку Т! (з;) 1 на отрезке [-1, 1], то P i(.t)-P (.t)KK2i- . Далее приближают многочлен P,i i(a;) многочленом наилучшего равномерного приближения Р 2 (ж) и т. д. Понижение продолжается до тех пор, пока погрешность от таких последовательных аппроксимаций остается малой. Рассматриваемый прием можно описать еще и следующим образом. Разложим многочлен Рп{х) по многочленам Чебышева: Доказать, что Задача 9. Пусть Доказать, что fix) =J2ijTj{x). Enif)\dn+i\- J2 Ш- Многочлены наилучшего равномерного приближения или близкие к ним используются как важный составной элемент в стандартных программах вычисления элементарных и специальных функций. Часто возникает ситуация, когда функция задается очень сложным явным выражением (например, в виде интеграла /(ж) = / Р{х,у) dy), а по ходу решения конкретной задачи ее значение приходится вычислять в очень Таким образом, сущность описанного метода заключается в следующем. Исходная функция приближается отрезком ее ряда Тейлора Р (а;). Затем многочлен Р {х) раскладывается на многоч.лены Чебышева и отбрасываются несколько последних членов разложения. Так как \Рп{х) - Р г(х)\ Ё j=m+l то общая оценка погрешности такова: fix) - Р, (.т) шах - Р (а:) + J2 Ш- Рассмотрим задачу приближения функции /(ж) = arctga; на отрезке [- tg(7r/8), tg(7r/8)] с точностью 0,5 10 . Для достижения такой точности при аппроксимации отрезком ряда Тейлора требуется положить жЗ х ж ж9 arctga; --- +------ + - - -- 3 5 7 9 11 Приблизим полученный многочлен многочленом наилучшего приближения степени, на единицу меньшей. Повторяя данную процедуру три раза, получим многочлен А (.г) = 0,9999374.т - 0,3303433 + 0,1632823а;5, также обеспечивающий требуемую точность. Отметим, что здесь из-за нечетности исходного многочлена показатель степени на каждом шаге уменьшался на 2. Задача 8. Пусть функция /(ж) непрерывна на отрезке [-1, 1]: д +1(ж) = а +1ж + + -Ь ао. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [60] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |