|
| |
|
Слаботочка Книги Уравнением Эйлера для рассматриваемого функционала является уравнение е. s = 0. Поэтому естественно предположить, что экстремум реализуется на некоторой функции S2{x) € S2-, непрерывной вместе с первой производной, являюпейся многочленом третьей степени Рпз(ж) = Опо + ап1Х+ап2Х+апзх на каждом из отрезков [xn-i, ж ]. Пусть 7/(ж) -непрерывная, непрерывно-дифференцируемая и дважды кусочно непрерывно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям Фо) = = ф) = 0. (3) Положим F{t)= [ {s{x) + tr] {x)fdx= f {s{x)fdx + Jo Jo + 2t С4{x)T} {x)dx + [\v {x)f dx. Jo Jo Поскольку no предположению F{t) F{0), то F(0) = 2 [\{х)г] {х) dx = 0. Представим величину B{-q) = P(0)/2 в виде В = bi + + bi, bn = / s{x)v {x) dx = / PsixWix) dx, И произведем в выражении для bn дважды интегрирование по частям. Получим Вследствие (3) и равенства Рз(ж) = О имеем bn = PMri{x) . Xn~l После суммирования но п получим B{rj) = PUxN)-n{xn) + Е {КгЫ - Р:+1,гЫ)г]{хп) - РГз(жо)г?(а;о) (4) для любой функции г]{х) рассматриваемого вида. При любом I можно подобрать функцию r}i{x) такую, что -qixi) = 1, ri\{xn) = О при п ф1 в пределах О п ЛГ. S2{x) = РпЛх) = M.ii- +М - -Ь ЫЪп ЫЪп + {f{Xn-l) - + (/(ж.) - ) - на [хп-\, Хп\. Условия Р1гзЫ = PUlAn), n = l,...,N-l порождают уравнения К. , /ln + /ln+l ,К+1.. f{Xn+l) - f{Xn) f{Xn) - f{Xn-l) -М 1 -I----Мп Ч---Мп+1 = -;---Z- Заметим, что мы не имели права производить интегрирование по частям непосредственно в исходном интеграле В{г]), так как неясен вопрос о существовании производных у S2(x) более высокого порядка, чем первый, в точках xi,..., хд. Подставляя такие r]i{x) в равенство В(г]1{х)) = 0, 1 = 0,..., N, получаем N + 1 уравнение P{s{0)=PU)=0, i3(-n)-i-M,3(a )=0, n = l,...,N-l. (5) Условие, что минимизирующая функция принимает заданные значения в точках Хп, порождает 2N уравнений Рпз{хп) = Pn+lAXn) = }{хп), п = 1,..., N -1, Аз(жо) = /(жо), Pn3{xn) = Hxn), а условия непрерывности siix) в точках ж порождают уравнения РзЫ = PUiAn), n = l,...,N-l. (7) В совокупности нами получено AN уравнений (5)-(7) относительно AN неизвестных коэффициентов многочленов Рпз{х). Исследуем вопрос о разрешимости и о практическом решении системы уравнений (5)-(7). Для удобства введем в рассмотрение величины М = s {xn). Поскольку функция (ж) линейна на [2; i, ж ], то 4{х) + Мп на [хп-1,хп]; здесь hn = Хп - Хп-х. Из этого соотношения и из условий S2{Xn~l) = /(Жп-l), S2{Xn) = f{Xn) можно получить, что
hi+1/Ь при - - . 1 О при а элементы d,; столбца d - соотношениями Ы+1 hi Эта система решается методом прогонки (см. гл. 9) примерно за 8Л арифметических операций. После нахождения Mj по формуле (8) определяем многочлены Р з(ж). Покажем, что система уравнений (10) однозначно разрешима. Поскольку число уравнений равно числу неизвестных, то достаточно показать, что однородная система СМ = О (12) имеет только нулевое решение. Предположим противное, т. е. что существует ненулевое решение М° = {Mf,М% У системы (12). Пусть по - значение п, при котором достигается шах М°, т.е. В уравнении CnojMj = О перенесем в правую часть все слагаемые, кроме С7юпоМ°. Получим СпопоМО = Е Спо:;М9. (13) Кроме того, имеем условия Р{з(хо) = 0, Р;з(х/) = 0, иначе Мо = О, Мдг = 0. После подстановки Мо = О и Мдг = О соответственно в первое и последнее уравнения (8) получим систему СМ = d (10) из {N - 1)-го уравнения с {N - 1)-м неизвестным: М = (Ml,..., d = (di,..., dN-if. Элементы Cjj, i, j - 1,..., N - 1, матрицы С согласно (9) задаются соотношениями 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [63] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |