|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [64] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 F{1)= f\s {x)fdx= Г {s4(x)+r, (x)fdx = Jo Jo = f is{x))dx + 2B{s{x)-S2{x))+ f {{s{x) - S2{x)) fdx. Jo Jo (14) Поскольку S2{x) удовлетворяет условиям (5), то в соотношении (14) имеем B{s{x) - S2{x)) = 0. Таким образом, при любой функции 5(2;) G S2 справедливо соотношение his) = J\s {x))dx = j\4{x)fdx + j{{s{x) - S2(x)) )ds = /2(2) + СЫх) - S2{x)rfdx. Отсюда следует справедливость утверждения леммы. Из последнего соотношения следует также, что сплайн S2{x) является единственной функцией из рассматриваемого класса, на которой /2(5) достигает своего наименьшего значения. Из соотношений (И), определяюпщх с, следует, что при любом г справедливы соотношения поэтому имеем цепочку неравенств с опоЛС1 < Е 1 о,1 К1 knonol max М9 = = ICnonol ЛС1 = cnonoC- Вычтем из обеих частей результирующего неравенства выражение, стоящее в правой части. Получим с (, оМ° 0. Поскольку Спопо Ф О, то = 0. Мы пришли к противоречию с предположением о существовании у системы (12) ненулевого решения. Подведем итог проведенным построениям. Доказано существование решения системы (10). Сплайн третьей степени, определяемый соотношениями (8), будет искомым сплайном, удовлетворяющим условиям (5) (7). Лемма. Полученный сплайн S2{x) реализует inf /2(5). se52 Доказательство. Пусть s (ж) - произвольная функция из 2. Положим rj{x) = s{x) - S2{x). Имеем Задача 1. Доказать, что решение системы (10) удовлетворяет неравенству max \Мп\ < -:-- max \dn\; получить отсюда однозначную разрешимость системы (5)-(7). При рассматриваемом подходе получаемый сплайн совпадает с /(ж) во всех узлах; такие сплайны называют интерполяционными. Задача 2. Пусть точки х распределены равномерно: ж , 1 - ж =/г. Значение интерполяционного сплайна третьей степени S2{x) выражается через значения функции /п некоторой формулой N п=0 Получить оценку ж - nh\ \Сп{х)\ < азе h ; (15) аз, 63 > О -абсолютные постоянные, не зависящие от /, Л, h. Из оценки (15) следует, что значение сплайна Si{x) в точке х слабо зависит от значений / при большом \{х - nh)/h\. Описанный выше способ построения сплайна третьей степени страдает следующим недостатком. Из соотношений (5) следует s {0) = {l) - О, хотя, как правило, / (0), / (1) ф 0; поэтому точность приближенных формул /()(ж) ! s\x) вблизи границы ухудшается. Если значения / (0) и / (1) известны, то в (9) при п = 1 ип = Л - 1 следует положить Мо = / (0) и Мдг = / (!) Оказывается, что для повышения точности целесообразно задавать в точках жо, жу значения первой производной. Дифференцируя (8), имеем ohi Mi/ii /(ж1)-/(жо) В случае, если величина /(жо) известна, полагаем правую часть равной /(жо) и получаем дополнительное уравнение, связывающее Мо и Ml. Обычно значение /(жо) неизвестно, поэтому поступим следующим образом. Определим интерполяционный многочлен Qo{x) третьей степени, совпадающий с /(ж) в точках жо, xi, жг, Ж3. Величину /(жо) заменим выражением Qq{xo). Окончательно получим (16) Часто вместо Qo а Qn лучше брать многочлены четвертой степени, совпадающие с f{x) в пяти крайних точках. Задача 3. Пусть = h = l/N, \/Цх)\ л4. Показать, что для сплайна, определяемого системой соотношений (9), (16), выполнены оценки [0,1] f{x)-s[\x) < const 4/1 , qS. Описанные выше сплайны часто неудобны из-за своей нелокальности: значение сплайна в точке х зависит от значений /(ж ) во всех узлах. Если в процессе работы со сплайнами (а она часто проходит в диалоговом режиме с визуализацией результатов на экране) требуется исправить одно значение, приходится заново решать систему уравнений (9). Особенно эта процедура неприятна в случае приближения функций многих переменных многомерными сплайнами. Чтобы избежать этого, используем так называемые локальные [аппрок-симационные) сплайны. Локальный сплайн первой степени совпадает с построенным выше сплайном si{x). Локальные сплайны более высоких степеней, как правило, не совпадают с /(ж) в узлах Хп- Однако это обстоятельство не носит принципиального характера. Все равно, как правило, значения /(ж ) известны с некоторой погрешностью Sn, т.е. нам заданы величины fn = f{xn)+Sn- Построение локального сплайна третьей степени опишем на примере случая постоянного шага hn = h = l/N. Для этого используется стандартный сплайн В{х) третьей степени, определяемый соотношениями В(ж) = I - ж -Ь ж при ж 1, {2-\x\f при 1ж2, О при 2 < ж. Последняя формула может быть записана в виде Аналогично построим интерполяционный многочлен третьей степени Qn{x), совпадающий с /(ж) в точках xjv, ждг-!, жл? 2, жлг-з- Коэффициенты Mj будем находить из системы уравнений, состоящей из совокупности уравнений (9) при п = 1,..., N - 1, и уравнений 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [64] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |