Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [65] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

§8. Интерполяция и приближение сплайнами 199

Локальные сплайны третьей степени и В записывают в виде

в?(х)=е°!. (). = 1.2;

п=-1

способ выбора ci будет указан ниже.

Задача 4. Доказать, что при любых ot-n функции В являются сплайнами третьей степени, причем В = О вне отрезка [-3/г, 1 -f 3/г].

При г = 1 доопределяют значения / i и /iv+i линейной интерполяцией по значениям /о, /i и /дг, F-u соответственно, т.е. берут / ] =2fo-fi, In+i = 2/лг - Jn-i и полагают а = / при +

При г = 2 доопределяют / 2, /-i и /iv+i, /iv+2 кубической интерполяцией по значениям /о, /i, /2, /з и /дг, /w-i, /w-2, /iv-з, соответственно, и полагают

Oin = (8/ - fn+l - /n-l)/6.

Конкретные формулы для вычисления величин / 2, /W+i, /iv+2 имеют вид

/ 1 = 4/о - 6/1 + 4/2 - /з, / 2 = Ю/о - 20/1 + 15/2 - 4/з, In+i = In - 6/iv-i + 4/jv-2 - /iv-з, /iv+2 = 10/w - 20/iv i + 15/iv-2 - 4/iv-3-

Задача 5. Показать, что значение В2\х} зависит только от значений /п в четырех ближайших к х точках Жп, а значения В2\х)~в шести.

В случае, когда погрешности 6п велики, чаще используют сплайны .(а;), а в случае, когда малы - сплайны В2\х)\ дело в том, что сплайны В\х) обладают несколько лучшими свойствами сглаживания погрешностей в значениях f{x ), но обеспечивают меньшую точность в случае (5 = О и гладкой f{x).

Задача 6. Показать, что

B\xo)=fo, Bi\x)=fM,

Bi\xo) = fo, Bi\xi) = h, Bf\xM-i) = fN-i, Bf\x:,) = fN.

Совпадение сплайнов В(х) и В(х) с f{x) в концевых точках существенно упрощает применение таких сплайнов в задачах машинной графики.

Задача 7. Пусть \f\x)\ Ак при А; = 2, 3, 4. Показать, что -/(Нж) < const /г- при А; 1,

-/((ж) сАф- при кЗ.

max [ОД]

[0,1]

Рис. 4.8.1

Рассмотрим подход к построению сплайнов, основанный на идее регуляризации. Пусть известно, что погрешности 6п - случайные величины с математическим ожиданием М(5 = О и дисперсией 6. ]У[инимум his) ишут при условии

J2i{xn)-fn)c{N + l)6; (17)

постоянную с порядка 1 выбирают экспериментально.

Как правило, левая и правая части условия (17) равны в точке минимума his)- Поэтому обычно вместо исходной задачи рассматривают задачу безусловной минимизации по Л и s функционала

J2(A, s) = his) + X{j2isixn) - fn? - ciN + 1)2).

Рис. 4.8.1 соответствует некоторому конкретному случаю приближения при Л = 100 и с = 0,9. При каждом фиксированном Л величина J(A) = inf J2(A, s) определяется с помощью решения системы линейных

уравнений. Для нахождения infJ(A) применяется какой-либо метод минимизации функций одной переменной (см. гл. 7).

Литература

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа.- М.: Наука, 1986.

2. Бейкер Дж., Грейвс-]У[оррис П. Аппроксимации Паде. - М.: Мир, 1986.

3. Завьялов Ю. С, Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций.- М.: Наука, 1980.

4. Стечкин СБ., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике.- М.: Наука, 1976.

5. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1980.

6. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1981.

=- Глава S =- Многомерные задачи

Вопросы приближения, интерполирования, численного интегрирования и дифференцирования функций одной переменной, как видно из предше-ствуюгцего, разработаны достаточно подробно. В настоящее время на основе результатов теоретических исследований созданы довольно развитые системы стандартных программ решения одномерных задач. Значительная часть результатов теоретических исследований для одномерного случая может быть перенесена на случай функций двух и более переменных; однако при этом могут появляться практически недостаточно эффективные методы.

При теоретических построениях задачи разбивают на классы, например выделяют класс задач вычисления интегралов от функций с ограниченными производными, а затем проводят исследования, связанные с этими классами задач. Конечно, принимаемое описание не всегда (скорее даже редко) хорошо описывает класс реально встречающихся задач, однако скорости современных ЭВМ таковы, что, несмотря на грубость описания одномерных задач, удается решать большинство из них, пользуясь стандартными методами, разработанными в результате теоретических исследований.

Трудоемкость решения задач резко возрастает с ростом их размерности, и поэтому, как правило, не удается разработать стандартные методы решения широких классов многомерных задач со столь же высокой точностью, как в одномерном случае.

Несколько утешает следующее обстоятельство. Многомерные математические задачи обычно возникают из описания сложных процессов. Обычно уже эти описания являются довольно грубыми, и поэтому значительно реже предъявляется требование решения этих задач с такой же высокой точностью, как в одномерном случае. Например, требования к точности решения уравнений газовой динамики существенно ниже требований, предъявляемых к решеншо уравнений баллистики и небесной механики.

Не следует, однако, думать, что решение многомерных задач является почти безнадежным делом. Развитие теории методов решения многомерных задач и повышение скорости работы ЭВМ, несомненно, повлекут за

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [65] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208