|
| |
|
Слаботочка Книги § 1. Метод неопределенных коэффициентов Решение ряда многомерных задач часто сводится к решению следующих элементарных задач. Пусть в некоторой области s-мерного пространства G заданы точки Pi, Рдг и значения функции / в этих точках. Требуется: 1) получить приближение к значению функции /(Р); 2) получить приближение к значению некоторой производной Df функции в точке Р; 3) вычислить интеграл I{f) = lj{P)p{P)dP, где р{Р) - некоторая весовая функция. Простейшим способом решения этих задач является многократно применявшийся нами в конкретных случаях метод неопределенных коэффициентов. Пусть из каких-то соображений известно, что функция /(Р) хорошо приближается линейными комбинациями вида YBjUjiP). Потребуем, чтобы такая линейная комбинация совпадала с /(Р) в заданных узлах, т. е. выполнялись равенства J2Bjuj{Pg) = fiPg), q=l,...,N. (1) Предположим, что det u;j(P5) 7 0. Тогда матрица ЦуСР)!! имеет обратную А = \\ajg\\ и решение системы (1) записывается в виде N 9=1 функция д{Р)=2вЛР) собой создание стандартных методов решения таких задач и, как следствие, снижение предъявляемых требований к квалификации пользователей. В настояпее время трудность многомерных задач требует, как правило, привлечения к их исследованию специалистов более высокой квалификации. В настоящей главе рассмотрены вопросы интерполирования, численного интегрирования и дифференцирования функций в случае нескольких пространственных переменных. § 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация Как мы отмечали, применение описанного выше метода часто приводит к неудовлетворительным результатам. Повышение качества приближения может достигаться различными способами. Рассмотрим первый из них, называемый методом наименьших квадратов. Перенумеруем функции u!j{P) таким образом, чтобы меньшим значениям j соответствовали более гладкие функции. Приближение ищется в виде 9{Р) = ЕВ,а;,(Р), совпадает с функцией /(Р) в точках Pq. Подставляя в предыдущее соотношение Bj из (2), получим иное представление д{Р), а именно: 5(Р)=Е-7()-(9)> где Zq{P) = yajqUjj{P). (3) Такая форма записи интерполяционной функции является аналогом записи интерполяционного многочлена в форме Лагранжа. Как и в одномерном случае, можно надеяться, что при удачном выборе узлов Pq и функций ujj{P) будет мала погрешность в приближенных равенствах: fiP)giP) = Y,ZqiP)fiPq), (4) Df{P) Dg{P) = Y.Zq{P)f{Pq\ (5) Hf)I{9)=J2qf{Pq), (6) -7=1 где Cg = I{Zq). Как отмечалось в гл. 2 для одномерного случая, при неудачном выборе большого числа узлов интерполирования погрешность приближенного равенства (4) может оказаться катастрофически большой. Поскольку приближенные равенства (5), (6) являются следствием приближенного равенства (4), то может быть большой и погрешность в приближенных равенствах (5), (6). Поэтому применение соотношений (4)-(6) требует обоснования и выяснения условий законности использования. Ф{д) = Ф(Вь ..., В ) = .ШР,) - fiP,)f = -7=1 N / п = Т.рА12ВзЛРя)-1(Ря) <7=1 \7 = 1 X. 9=1 \j=l / в основе метода наименьших квадратов лежит следуюгцее соображение. Малость величины Ф(<?) обеспетавает близость функций д{Р) и /(Р) в точках Рд-, при п < N функция д{Р) свляется линейной комбинацией относительно более гладких функций, поэтому у нее меньше возможностей отличаться от /(Р) вне узлов по сравнению со случаем п = N. Числа рд > О, называемые весами, подбираются в зависимости от плотности распределения точек Рд. Если значения f{Pg) содержат случайную погрешность, то Рд выбирают также в зависимости от дисперсии погрешностей измеряемых значений. Там, где точки Рд распределены плотнее, числа Рд берутся меньше; значениям f{Pg) с большей дисперсией погрешности ставят в соответствие меньшие значения Рд. Такие рекомендации выглядят довольно неопределенными, поскольку нельзя предложить общего правила, пригодного для всех задач. Для конкретных классов задач принципы выбора и п = n{N) вырабатываются с учетом специфических свойств задач на основе статистических критериев и численного эксперимента. Приравнивая нулю производные дФ/dBi, получим систему линейных уравнений для определения Bj: 1 дФ dji = dij = YPgUJi(Pg)uJjiPg), di = (Pg)/(Pg) . 9=1 9=1 Раскрывая скобки в (1), получим Ф(Р1,. ..,Bn)=Yl dijBiBj - YdjBj + do, do = X>9(/(p9))-9=1 где п < N. Параметры Bj определяются из условия min Ф{д), £>1±>п где, например, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [66] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |