|
| |
|
Слаботочка Книги Выражая Bj из (2) через di, а затем через /(Р), получим следовательно, 9{Р) = (3) я{Р) = YaigUiiP). Воспользовавгцись (3), можно получить также формулу численного дифференцирования Df Dg и квадратурную формулу /(/) к, 1{д). В основе метода регуляризации непосредственно лежат соображения о сглаживании аппроксимирующей функции. Наиболее распространенной формой метода регуляризации является следующая. Приближение отыскивается в виде д{Р) = YjUP) j=i а коэффициенты Bj выбираются из условия минимума выражения Ф(Л, 5) = Ф(9)-ЬЛФ(9), Л>0. (4) Функционал подбирается из следующего условия: если значение это- го функционала невелико, то функция д обладает определенной гладкостью. Например, Ф(д) может быть некоторым приближением к интегралу / [gradg(P)jdP. В приложениях часто используется случай, когда п = N, на котором мы далее и остановимся. Пусть минимум выражения д) достигается при некоторых В,..., В и g\P) = Y,Bj{P)- Рассмотрим крайние случаи: Л = О и Л - очень большое число. Имеем равенство N / N \ 2 т 9) = J2p<i YiiiPi - fip) Так как {Bi,..., Bn) О, то симметричная матрица D = \\dij\\ неотрицательна. В связи с этим в ряде стандартных программ метода наименьших квадратов для решения системы уравнений (2) используется метод квадратного корня. Иногда целесообразно искать Bj, непосредственно минимизируя Ф каким-либо итерационным методом. Если det а;(Рд) Ф О, то система (1.1) имеет решение и на ее решении правая часть этого равенства обращается в нуль. В то же время выражение Ф(0, д) всегда неотрицательно. Таким образом, нижняя грань достигается на значениях Bj, являющихся решениями системы (1.1). Тогда д{Р) совпадает с интерполяционным многочленом с узлами интерполяции Pj. При больших Л в функционале >Ф(Л, д) определяющим является второе слагаемое, нижняя грань которого достигается на гладкой функции. Следовательно, есть какие-то основания ожидать, что при промежуточных значениях А функции д{Р) будут гладкими и в то же время не очень сильно отличающимися от приближаемой функции в заданных узлах. Наши рассуждения выглядят довольно расплывчато, однако при такой общей постановке задачи приближения функции без конкретного указания системы функций luj, распределения точек Рд и класса рассматриваемых функций вряд ли можно сказать что-либо определенное. Подобные грубые физические соображения часто помогают при конструировании новых методов решения задачи в условиях недостаточной информированности о самой задаче. Ниже на конкретном примере будет объяснена сущность эффекта, достигаемого за счет применения регуляризации. § 3. Примеры регуляризации Пусть /(ж)-действительная периодическая функция с периодом 1. Пусть известны значения fg величин f{xg) при Хд = qh, q - О,..., N - 1; Nh = l. Погрешности приближенных значений Д -/(ж) = - независимые случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией (Р. Требуется получить таблицу приближенных значений производных f{xg). Погрешность оценивается в норме, соответствующей скалярному произведению if, 9) = fq9<ih. Далее /(ж) рассматривается как периодически продолженная функция. Для нахождения производной используем простейшую формул/ численного дифференцирования /(ж,) 1?Л==±1±1. (1) Предположим, что функция /(ж) достаточно гладкая и шаг h настолько мал, что при отсутствии погрешностей в значениях функции погрешность формулы численного дифференцирования /(,) /(М1) Л (2) \с1=0 / Соглсано указанным выше свойствам случайных величин dg, имеем Mdgdp = (il- (3) Таким образом, МЦДЦ = N(f-/2, т.е. среднеквадратичное значение нормы погрешности равно Ndl\f2. Мы видим, что погрешность приближенной формулы (1) возрастает с уменьшением h = 1/N; в то же время для малости погрешности в предположении отсутствия погрешностей в исходной информации (2) требуется достаточная малость h. Чтобы выяснить пути уменьшения погрешности, проведем более детальное исследование. Пусть .4° - дискретные коэффициенты Фурье (ДКФ) функции fix у): f{x,)= Е A°exp{2Trijx,}, -n/2<jn/2 а Aj - ДКФ функции f,j. Величины aj = Aj - А° будут ДКФ функции dg = fq - fixq). Имеем Е exp{27riixg}, (4) -7V/2<jAf/2 n-1 uj = h dg exp {-2Tcijxq). Чтобы вычислить ДКФ для Гд, применим оператор численного дифференцирования D к функции exp{27rija;5}: ВеМшзхд) = -V{2r.jxgi}-ex{2.ijxg,} IfH p{2.ii.J. Применяя оператор D к обеим частям (4), получим ---aj ехр{27гуа; J. пренебрежимо мала. Тогда погрешность в значении производной пред-ставима в виде dg+i - dq-l dq+l - dgi + 2h 2h ~ Обозначая математическое ожидание знаком М, имеем равенство 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [67] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |