|
| |
|
Слаботочка Книги иначе говоря, Q состоит из точек {х\,..., х1 ) при ji = 1,..., iVi,... js = 1, - , Ng. В случае расположения узлов в вершинах такой сетки та же формула численного дифференцирования получится, если поменять местами численное дифференцирование по йеременным xi и Х2, т. е. сначала получить некоторую формулу а затем воспользоваться формулой Численное дифференцирование (интерполирование) функций большего числа переменных производится аналогично последовательным сведением к численному дифференцированию функций на единицу меньшего числа переменных. При численном дифференцировании функций многих переменных нужно особенно следить за величиной отбрасываемых остаточных членов. Рассмотрим, например, задачу, где применение описанного выше приема последовательного численного дифференцирования может привести к получению неправильной формулы. Пусть значения функции f{xi, Х2) известны в узлах сетки [тщНг, m2/i2)- Требуется вычислить значение /11x2(0, 0). Выпишем простейшую формулу численного дифференцирования функции ОД1ЮЙ переменной .( По формуле Тейлора fix + h) = fix) + fix)h + fix + eh)-, oxel, имеем Поэтому можно написать, что f f,. f.-AhuO)-f..Ao, 0) , Jh . /xiX2(0, 0) =----fAi 0)y- в свою очередь, возьмем какие-либо аппроксимации производных fxiihi, 0), /х2(0, 0). Имеем равенства: f (, f,. fihl,h2)~fihi,0) h2 7x2( 1, U) =----7x1X2( 1, Oihi)--, (bj /12 2, f.Ao, 0) = m o)~m -h2) ) /хгхЛО, 0) в данном случае аппроксимирующую не требуемую производную, а выражение /х1Х2(0, 0) + /x2X2(0, 0). Если в (5) и (6) использовать одни и те же формулы численного дифференцирования по переменной Ж2, то вместо (7) получается формула с погрешностью, стремящейся к нулю при h -> 0. Например, вместо (6) воспользуемся равенством j (o,o)/°--,;°-°>-/, .(o.wf- m После подстановки (5) и (8) в (4) получим /(/п,/i2)-.f(/ii, о)-/(о, М + /(о, 0) fxix-Ao, 0) = /ц/12 - fjehi, 0) - l.U,x.Ahl, вф2) + \krxM Если производная fxx непрерывно дифференцируема в окрестности начала координат, то ./хгхгСО, вф2) - Ifx-zxiii, вф2) = 0{h)\ поэтому Л. (о, 0) = /( ьЫ-Л..,0)-Л0,Ы + Л0,0)О(,.), П]П2 Мы получили, что формула численного дифференцировагшя 0) (-ь - (-ь - (0 -) + -( ) (9) hih2 имеет погрешность 0{h). После подстановки (5), (6) в (4) получим , ,п m - .nhuh2)-.fihu0)-.f{0, Q) + /(Q, -h2) - AfxJ/b 0) - i/x.x.(0, eih2) - \u {hl, 02h2). Здесь при построении формулы численного дифференцирования одновременно учитывался остаточный член. Соотношение (7) можно переписать в виде f rn n - f(/4,M-./(/H,0)-.f(Q, Q) + ./(Q, ~h2) IxixA: Uj - - /a.2x-2(0,0)+ 0{h), h = max {ha, /i}. Таким образом, если бы мы не обращали внимание на величину погрешности аппроксимации, то получили бы приближенную формулу с конечной погрешностью f{hi, h2) - fihi, 0) - /(О, 0) + /(О, -/12) Покажем, как получить формулу (9) методом неопределенных коэффициентов. Зададимся видом формулы численного дифференцирования , tnn\l(f\ /(/ь + bfjhi, 0) + с/(О, h) + dfjO, 0) /....(О, 0) l{f) =--. (10) Такой вид правой части выбран из соображений размерности. Пусть [х] - обозначение размерности некоторой величины; например, если ж -скорость, то [х] = м/с. Производная /is имеет размерность [/]/([a:i] [x-i]), функция f~ размерность [/], hi -размерность [xi], /i2 - размерность [жг]. Таким образом, величины f{P)/{hih2) имеют ту же размерность, что и /я,и,-2, поэтому есть основание ожидать, что в разумной формуле численного дифференцирования (10) коэффициенты а, Ь, с, d будут безразмерными величинами, не зависящими от шагов сетки. Положим Д(/) = /3:10:2(0, 0)-Z(/). Выпишем разложениеТейлорадля f{xi, x-i) относительно точки (О, 0) с точностью до членов второго порядка: f{xi,X2)=p2{xi,X2)+r{f), р2(Ж1, Х2) - /(О, 0) + ж,/ (О, 0) + Ж2/а.,(0, 0) + + \хЬ.г.М Щ + Х1Х2,.М 0) + 0). в предположении, что / трижды непрерывно дифференцируема, можно показать справедливость соотношения (?(/))ж1Ж2(о,о) = О и т(/) = 0(h) в узлах сетки, входящих в выражение l{f). Поэтому в предположении, что а, Ь, с, d = 0(1), имеем R{f) = RiPz) + R{r) = щр2) - 0[h)l(1i,h2). Если R{p2) = О к hi, h2 одного порядка, то R{f) = 0{h) и формула численного дифференцирования (10) имеет порядок 0(h). Выражение R(f) является линейным функционалом от функции /, поэтому R(p2)= О для любого мно-гошена Рг второй степени, если R(l) = R(xi) = R(x2) = R(xl) = R(xiX2) = R(xl) = 0. Получаем систему уравнений R(\) = -{а + Ь + с + d)l(hih2) = О, R(xi) = -(d + b)lh2 = Q, R(x2) = -(d + c)/hi=0, R(xj) = -(d + b)hi/h2 = 0, R(xl) =-(d + c)h2/hi=0, R(xiX2) = 1- = 0. Эта система шести линейных уравнений с четырьмя неизвестными имеет решение а = d = 1, b = с = -1, соответствующее приближенной формуле (9). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [70] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |