|
| |
|
Слаботочка Книги я,(7п2,...,га. 1) (11) га,=1 х/(2/Г,...,2/Г- 0- В итоге получаем п2(гп1) mi=l m2=l n,(mi,...,m, i) У 1? - /(уГ.---,2/Г- )- (12) В одномерном случае для всех операций численного анализа были получены оценки погрешности через производные рассматриваемой функции. Посмотрим, какие оцетжи погрешности являются следствием этих оценок для многомерных задач. Значение некоторого оператора от функции приближается значениями других операторов, причем погрешность этой замены можно оценить согласно формулам оценки погрешности одномерных формул. Однако эти новые значения сами уже содержат погрешности, поэтому в суммарную погрешность эти погрешности войдут с некоторыми множителями. Точно таким же образом строятся формулы численного интегрирования. Пусть вычисляется интеграл 0 = J fiViy - > У ) dyi... dyg. Его можно представить в виде 1о= I h{yi)dyx, Ii{yi)= hiyi,y-2)dy2, JGo JGi(vi) h[yi, y-2) = / h{yu U2, Уз)dys, L-i (Уь , ys~i) = h{yi>---,ys) dys. JG,-i(yi,...,y-i) Здесь - -., z/s) = fiVit--iVs), Go-проекция области G на ось yi, Gkiyi, - Ук)~ сечение множества G плоскостью yi = yi,- -, ук = Ук- Воспользуемся какой-либо квадратурной формулой для вычисления первого из этих интегралов /о~ f2 W)- mi=l Задача вычисления исходного интеграла свелась к вычислению интегралов размерности, на единицу меньшей. Полагаем теперь n2(mi) 7712 = 1 Обратимся к задаче интегрирования. Пусть = Е Последовательно подставляя в равенство 77.1 = 1 выражения Ji, /2,..., получаем цепочку соотношени!! /о = 2?°+ ED /i(2/r) = rai=J m / n2(mi) \ e°+ J2 [elm + E 0 1 =/2(2/Г\ 2/2 ) mi = l \ та2=1 / ii / 2 (mi) mi=l Vm2=i / /n.(mi,..., 7b i) 2 (nil) mi = l mi=l 7/12=1 m n2(mi) n, i(7ni,...,77l 2) + E E E mi=l 7 2=1 i.i. i=l 1...77l 2 (13) Из последнего равенства видно, что погрешность аппроксимации может оказаться существенно больше, чем в одномерном случае, если коэффициенты - большие. Формально сведение многомерной задачи к одномерной имеет одинаксдаый характер и в случае задачи шсленного дифференцирования (интерполирования), и в случае численного интегрирования. Однако между этими задачами есть такое существенное различие: задача численного дифференщ1рования (интерполирования) чаще ставится как задача нахождения оператора от функции по значениям на некоторой заданной совокупности узлов q. Для задачи интегрирования более типичной является возможность распоряжаться выбором узлов. При осуществлении многомерных операций численного дифференцирования (интерполирования и интегрирования) функций, заданных на сет- .1 / / , /{уиУ2)ду2 при гладкой функции f{yi, уг)- Если /(±1, 0) ф О, то функция h (2/1) = / , /(2/1, 2/2) dy2 имеет неограниченные производные в точках ±1 и поэтому при численном интегрировании по переменной yi следует использовать специальные приемы вычисления интегралов от таких функций - переменный шаг интегрирования, в частности интегрирование с автоматическим выбором шага, выделение особенностей и т. д. Целесообразнее записать этот интеграл в виде / = / rli (г) dr, Ii (г) = / /(г cos (р, г sin tp) dp, Jo Jo ice, являющейся произведением одномерных сеток, разумно использовать одинаковые формулы для аппроксимации промежуточных величин. Имеется в виду, что, например, формулы (11) должны иметь вид 4-1(уГ,---, - е Г,\4(г/Г,---, 1/Г), (14) т.е. DkN Ук зависят только от т. Правая часть (12) тогда приобретает вид е... ei:k---.sk.ws---,i/r)- 7Л1=] т.5 = 1 При построении такой квадратуры мы неявно предполагаем, что область интегрирования - прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям. Такие формулы численного интегрирования (интерполирования, дифференцирования) называют прямым произведением соответствующих одномерных формул численного интегрирования (интерполирования, дифференцирования) . В § 11 будет приведен более сложный пример прямого произведения квадратуры по отрезку на квадратуру по сфере. В случае применения таких аппроксимаций так же, как при вычислении производной по формуле (9), оказывается, что некоторые составляющие погрешности аппроксимации компенсируются. В случае задачи интегрирования возможна такая ситуация: при гладкой подынтегральной функции может оказаться, что промежуточные интегралы Ikivi,---, У к) не обладают достаточной гладкостью. Пусть вычисляется интеграл по единичному кругу 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [71] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |