Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [73] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Поэтому при = I - 5yvi, согласно оценке погрегиности составной формулы трапеций (3.8.8), имеем

l; ! < Ai/{12Nf). (2)

Для вычисления интегралов Ii{ji/Ni) применим составную формулу трапеций; имеем

т[уЛ< [Л /(ii/b 0) + /(Д/iVi, 1) , у /(ji/iVb J2/N2)

[ж) ~ № j - Щ + щ

Для погрегиности

4 = h(n/Ni) ~ Sih/Ni)

согласно (3.8.8) имеем

\El\A2/il2Nl). (3)

Подставляя Ii{ji/Ni) - EJ+Sm-AJi/Ni) в равенство I = E+Spf, получим цепочку соотношений

, 0 , (Sr,M + E) + iSNAl) + EJ,J , 5;v,(ii/iVi)4-4

ji=i

= -Wi- + -Wi-

2Ni N1

31 = 1

Выражение Sjif. является квадратурной суммой, вычисляемой но значениям функции / в (iVi4-l)(iV2--l) точках (ji/Ni, J2/N2), jR - погрешность численного интегрирования. Из (4) следует оценка

и вследствие (2), (3) имеем

\R\Ai/(12N)+A2/{12Nl).

При Ni = N2 = п получаем, что

ЛК(Л1-ьЛ2)/(12п2), (5)

и по отношению к общему числу узлов интегрирования N = (iVi -f- 1) х (JV2-f 1) = (n-t-1) погрешность имеет порядок 0{N~).

/ ... / f{xi,..., Xs)dxi...dx Jo Jo

применяются составные с1)ормулы точности OiN ) по каждой оси, где iVfc -число узлов, соответствующее направлению х- Получить оценку погрешности

\ 1 /

Минимизируя оценку (7) при заданном общем числе узлов Ni,..., Ng N, получить оценку погрешности 0{N~), 1/г = 1/ri + + l/vg.

Рассмотрим частный случай: ri = = rg = го, Ai - = Ag = Aq. Тогда 1/r - 1/ri + + l/vg = s/ro. Таким образом, рассматриваемые квадратуры обеспечивают оценку погрешности 0{AqN~°). У реальных подынтегральных функций порядок ограниченных производных г часто оказывается не очень большим, поэтому при больших s, как показывает полученная оценка, скорость сходимости оказывается плохой.

Возникает вопрос об оптимальных квадратурах на классах многомерных функций. Так как ни для каких реальных классов функций такие квадратуры неизвестны, ограничимся оценкой снизу погрешности оптимальных квадратур.

Предположим, что требуется гарантия, чтобы погрешность не превосходила е. Для этого достаточно выполнения неравенства

Ai/{12N) + A2/{12Nl) е. (6)

Если 1 и А2 отличаются несуп];ествешю, то можно взять Ni = N2 = п и исходя из оценки (5) определить минимальное п из условия

{Ai + A2)/{12n)£.

Если же 1 и А2 различаются существенно, то имеет смысл затратить время на минимизацию вычислительной работы, т.е. искать Ni и N2, минимизирующие (iVi -f- 1){N2 + 1) при условии

Ai/{12N)+A2/{12Nl) е.

Обозначим через Сг(А) = C,i,... (i, , Ag) класс функций, у которых в рассматриваемой области определения производные fk-i, к = 1,..., s, непре-

рывны, а производные f.-k (xi,..., Xs) кусочно-непрерьшны и удовлетворяют

условиям \fk{xi,..., Xs)\ Ak.

Задача 1. Пусть для вычисления интеграла

§ 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования

Напомним постановку задачи оптимизации квадратурных формул на классе функций. Пусть приближенное значение интеграла вычисляется по формуле

IU) = / f{P)p{P)dP SU) = yDjf{Pj).

Величина

называется погрешностью квадратуры, величина Rr,{F) = snp\RNU)\

- погрешностью квадратуры на классе функций F, величина

Wr,{F) = inf Rr,{F)

- оптимальной оценкой погрешности квадратур на классе F; квадратура (если такая существует), на которой эта нижняя грань достигается, называется оптимальной. Мы будем предполагать выполненным условие: существует некоторый куб А G G, в котором р{Р) 7 > 0.

Теорема. nw(<r(A)) > d(A, г, A)7iV- где d{A, г, А) > О, г = [г +

Доказательство теоремы осуществляется следующим образом. Будет показано, что для любой совокупности узлов Pi,..., P/V можно построить функцию /р1,...,Рд, (Р) рассматриваемого класса CV(A), обращающуюся в нуль во всех этих узлах и такую, что /(/) d(A, г, A)N~. При этом постоянная d > О не зависит от точек Pi,..., Руу. Тогда для любой квадратуры с этими узлами

RMCAA)) /(М,...,я,) - Y.jfPu...,pJPj) =

= \I{fPi,...,P)\dAA, г, A)7iV--.

Величина Л;у(Сг(А)) оценена снизу постоянной, не зависящей от узлов квадратур Pj и весов Dj, поэтому и ее нижняя грань Wi\f{Cj.{A)) по множеству всевозможных квадратур также оценивается снизу этой Постоянной d(A, г, A)-yN~. Таким образом, доказательство теоремы сводится к построению соответствующей функции fpi,...,Pi{P) для каждой совокупности точек Pi,..., P/v.

8 903

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [73] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208