|
| |
|
Слаботочка Книги h{xi) = j hixi, X2)dx2, rbs-l{Xl,...,Xs-l) Is-i{xu . . . , Xs-l) = / f{xi,... Xs)dXs, Jas-i{xi,...,Xs-i) по сравнению с квадратурными формулами с заранее фиксированными узлами интегрирования. Поэтому более правильным будет вывод о том, что практически встречаюгциеся задачи более точно описываются некоторыми невыпуклыми классами функций. Например, типичным классом функций, встречаюгцихся в приложениях, является класс кусочно-аналитических функций. Обратимся к одномерному случаю. В случае выпуклости класса функций полусумма двух функций класса также принадлежит этому классу. Полусумма функций, имеющих / точек, где на-ругаается аналитичность, может иметь 21 точек с наругпением аналитичности. Таким образом, класс аналитических функций, имеющих не более заданного числа I точек нарушения аналитичности, не является выпуклым. Если число точек нарушения аналитичности не ограничено сверху, то класс функций не является замкнутым: предел последовательности кусочно-аналитических функций с неограниченно растущим числом точек нарушения аналитичности может оказаться функцией, не являющейся кусочно-аналитической. Выше производилось сравнение методов интегрирования по верхней грани погрешности на классе функций. Однако возможна следующая ситуация. Два метода имеют одинаковые погрешности на классе функций, в то же время на большинстве функций класса один из методов имеет меньшую погрешность. Ясно, что этот метод является более предпочтительным и сравнение методов но верхней грани погрешности на классе функций в данном случае не дает общей картины. Из сказанного выше вытекает актуальность решения следующих задач. Задача 1. Как правильно описать класс реально встречающихся функций? Задача 2. Как правильно ввести меру в пространстве реально встреча-Юпщхся подынтегральных функций? (Ни про одно из известных определений меры в пространстве функций нельзя сказать, что оно правильно описыает обстановку, характерную для приложений.) Приведем примеры некоторых алгоритмов интегрирования с выбором узлов в зависимости от ранее полученной информации. Многомерный интеграл записывается как повторный Jao r-bi(xi) и численное интегрирование по некоторым из переменных Xj производится посредством одномерных алгоритмов интегрирования с автоматическим выбором шага. Следующий алгоритм вычисления многомерных интегралов имеет другую структуру. Среди известных алгоритмов интегрирования с автоматическим выбором узлов интегрирования этот алгоритм является наиболее эффективным по отношению к задаче вычисления интегралов от функций с особенностями функции или ее производных в изолированных точках. Пусть вычисляется интеграл / f{X) dX, П = [ai xi bi,..., as Xg bg], X = (xi,..., Xg). Заменой переменных Xi = 0,5(а,- + bi) + 0,5(ai - bi)ti, г = 1,..., s, штеграл превращается в интеграл но кубу [f{X)dX=[ g{t)dt, Jn Jg В основу метода положены кубатурные формулы f git)dtQlig), 9=1,2,3. jg Для вычисления интеграла / git)dt вычисляются QHg) и QlCff) и про- вернется условие Шд)~ЯШ\- (5) Здесь е - некоторая условная мера погрешности. Если это услове выполнено, то за приближенное значение штеграла по G принимается значение, вычисленное по кубатурной формуле Q, обычно являющейся линейной комбинацией формул Q{ и Q. Если условие (5) не выполняется, то куб G разбивается на 2* равных кубов и описанный алгоритм применяется к каждому из этих кубов. Процесс дробления продолжается до тех пор, пока условие (5) не будет выполнено. Если при делении шага h пополам наступит такой момент, когда /i* станет машинным нулем, то счет прекращается. Используемые в стандартных программах кубатурные формулы Qg имеют следующий вид. I. 5 = 2: i+b=i Hi+bl=i iUil=i 4-Бз E i7)+54 E 3{ii,j),
Формула Q\ тоша для всех многочленов степени не болыпе 5. Формула Q2 точна для всех многочленов степени не больше 7. П. 5 = 3: \ Hl,b1,fc=i + 10 У g{i, j, к) 1125 1552 784 Щ+\з\+\к\=1 П= Y1 9{i,j,0)+ J2 3{i,0,k)+ У g{0,j,k), Я\з\=1 N,fc=i УШ=1 qI = Iqi+IqI Формулы Ql и Q2 точны для всех многочленов степени не больше 5. Формула Ql точна для всех многочленов степени не больше 7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [75] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |