|
| |
|
Слаботочка Книги Jo Jo Показать, что при Р = (6п-ь Ьп), где из задачи 1, справедливо соотношение М(5лг(/)) = /(/) Вычислить lim D{Sr,{f)) = d{f) и убедиться, что, как правило, d{f) 7 О и поэтому Sjv{f) далеко от /(/). Задача 3. Пусть вычисляется трехкратный интеграл /(/) = Iff f{xi, Х2, X3)dxidx2dx3. Jo Jo Jo При Pn = (Ьп-2, Ы-1, Ы) вычислить M{Sn{f)) = i{f) и убедиться, что, как правило, г(/) ф 1(f) и поэтому SN{f) далеко от /(/). Указание. Воспользоваться тем, что (з. - 2з 1 + з 2) - целое в пределах [-1, 1]. Пусть 1,..., Cs > = 1,..., i - случайные независимые в совокупности равномерно распределенные на [О, 1] случайные величины и = к = 1,..., I. Положим q = {j -ЬC iAj+ + (1\А-Ч]}; здесь {у} = у ~ [у]-дробная часть числа у, А] = 1 - С -J---- + (-l)Cj - конечная разность д-го порядка, Cq - число сочетаний из q по р, равное нулю при р > q. Пусть Р, = (Г,...,е)- Задача 4. Проверить, что Рп = Рп при П=1,...,1. Задача 5. Показать, что точки Pi,...,P?v равномерно распределены в единичном кубе и любые I из них независимы в совокупности. К числу достоинств метода Монте-Карло относят независимость порядка оценки от размерности вычисляемого интеграла. Однако рассуждая только о порядке сходимости метода, можно не заметить следу-юшую немаловажную деталь. Мы получали оценки погрешности приближенного значения интеграла вида \SNif) - Ш)\ const VDif)/N. Задача 2. Пусть вычисляется двукратный интеграл § 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло Рассмотрим некоторые приемы повышения практической эффективности метода Монте-Карло. 1. Функция /(Р) представляется в виде f{P) = F{P)+g{P), где функция F{P) интегрируется явно и содержит в себе все резко меняющиеся компоненты /(Р), а /(Р)-плавно меняющаяся функция с небольшой дисперсией D{g). Иногда область интегрирования разбивается на малые подобласти и в каждой части в качестве Р(Р) берут некоторый интерполяционный полином с узлами в этой подобласти. 2. Подходящий подбор плотности распределения узлов р{Р) (см. задачу 3 в § 8) также приводит к уменьшению дисперсии. Мы рассматривали случай, когда все узлы Pj имеют одинаковую функцию распределения р(Р). В ряде случаев оказывается целесообразным выбирать узлы интегрирования таким образом, чтобы каждый имел своею функцию распределения Pj{P). 3. Следуюпщй прием является частным случаем приемов 1 и 2. Исходный интеграл представляется в виде суммы интегралов Ш)= [ f{P)dPf2ll{f),Il{f):= [ f{P)dP, Jg Jgi Типичным для практики является требование малости относительной погрешности приближенного значения интеграла, что в данном случае означает требование малости величины y/D{f)/{\I{f)\\/N). Статистика реально предъявляемых к вычислению интегралов показывает, что величина \/D(f)/\I{f)\ имеет тенденцшо к резкому росту с ростом размерности интегралов. В качестве иллюстрации приведем интеграл I{fs)= I / eM~A + --- + xl)}dxi...dxs, Jo Jo для которого y/DWi/\nfs)\ > 10/2-1. Следовательно, практическая трудоемкость метода Монте-Карло существенно возрастает с ростом размерности интегралов (нри одинаковой относительной погрешности). При действительном вычислении многократных интегралов методом Монте-Карло перед непосредственным приме-нением метода зачастую с целью уменьшения величины y/D{f)/1-(/) проводится довольно кропотливое исследование свойств подынтегральной функции, преобразование интегралов с помощью замен переменных и других приемов, требующие достаточно высокой квалификации исследователя. число узлов интегрирования N представляется в виде N = Ni-]-----i-Nn, и каждый интеграл / (/) вычисляется по методу Монте-Карло с Ni узлами интегрирования. Обратимся к случаю вычисления интеграла от функции, изображенной на рис. 5.10.1. При непосредственном вычислении исходного интеграла в случае р{Р) = 1 имеем D{f) = 1/4. Если Gi = [О, 1/2], G2 = [1/2, 1], то при любых 1, 2 Ф оба интеграла /<(/), а следовательно, и исходный интеграл будут вычислены точно. Конечно, случай, когда исходную область интегрирования удается разбить на части, где подынтегральная функция постоянна, очень редкий. Однако, если все-таки удается разбить ее на части, где функция меняется мало, то можно получить существенное увеличение точности при том же объеме вычислений. 0,5 Рис. 5.10.1 Разбиение области интегрирования на части с целью уменьшения дисперсии метода Монте-Карло широко используется, в частности, при обработке естественно-научной информации. Пусть требуется опреде.пить водосодержа-ние снега в бассейне некоторой реки. При непосредственном применении метода Монте-Карло выбиралось бы с равномерной плотностью распределения несколько точек, где производилось бы измерение ксшичества водосодержа-ния на единице поверхности. Участки поверхности с однородными прщодны-ми условиями (высота над уровнем моря, уровень облачности, залесненность, ориентация склонов гор, осадки, господствующее направление ветра) характеризуются примерно одинаковым водосодержанием. Поэтому удается добиться существенного повышения точности, разбивая бассейн на части с однородными условиями и применяя метод Монте-Карло для вычисления интегралов по этим частям. В случае гладкой подынтегральной функции разбиение области интегрирования на части приводит к увеличению порядка скорости сходимости. Пусть вычисляется интеграл = / f{xi,...,Xs)dxi...dxs. Jo Jo Положим N - ш разобьем исходную область интегрирования на равные кубы n j ... : (ш - 1)/п < Ж! < т/п,..., (ris - Vj/n Xg ng/n. В каждом кубе выберем случайную точку Pni,...,ns- Считаем, что ее плотность распределения - постоянная, равная п*, и случайные точки в любых двух кубах выбираются независимо. Положим П1,...,П = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [78] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |