|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [79] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 § 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло 241 Задача 1. Доказать, что П{Зм{Л) П{Зм{Л) = D{f)/N. Проведем оценку дисперсии в предположении, что функция /(Р) удовлетворяет условию Липшица с постоянной А по каждой из переменных. Справедливо равенство о{8мл)- Е (~nPnu...,nj)= Е ifiPni.....nj). (1) П1,...,П., = 1 П1,...,Пе = 1 Имеем равенство M(/(P ... J) = а ... = / nV(P) dP. П-н.....и. На основании теоремы о среднем имеем сг 1,..., з = /(Pni,...,nJ, где Pnu...,ns G П 1,..., , поэтому M{f{Pn ...,nJ) = fiPnu...,n.)- В то же время + Ai,..., Xs + А,) - fixi,X,) = = {f{xi + Аь ..., ж, + А ) - /(х1 + Ai,..., + А, 1, xs)) + + (/(ж! + Ai,..., .т, 1 -Ь А, 1, .т,) - /(.Т1 + Ai,..., .т, 2 + + As-2, Xs)) Н-----f- {f{xi + Ai, жг,..., ж) - /(жь ..., .ж.,)). Отсюда следует, что для функций рассматриваемого класса /(Ж1 -I- Ai,..., ж, + А,) - /(.жь ..., .ж ) л(А1 + + А,). Если точка Pni,...,ns принадлежит П,,... !, то каждая из ее координат отличается от соответствующей координаты точки P i,..., не более чем на п~. Поэтому из последнего неравенства следует оценка \fiPnu...,nJ-fiPnu...,nj\Asn~ нри Pni,...,ns € ni,...,ns, и, следовательно, \fiPnu...,nJ-nu...,nAAsn-\ (2) Всякая случайная величина удовлетворяет неравенству M(OKsup. Следовательно, D{f{Pni,...,ns)) = M{f{Pn ...,ns) - erf sup (/(Pn ...,nj-CT ,..., J4 f- fiPnu-..,nJ- I f{P)dP Asl7f+. Величина SnU) - 1(f) может быть представлена в виде суммы таких слагаемых: Е (~f{Pn ...,nJ- [ f{P)> Суммируя оценки для этих слагаемых, получим \SNUl-Iif)\As/n = As/N\ Сопоставляя эту оценку с теоремой из § 7, заключаем, что рассматриваемый метод имеет гарантированную оценку погрешности, оптимальную по порядку на рассматриваемом классе функций. Возникает вопрос, можно ли улучшить на этом классе оценку дисперсии (3). Метод Монте-Карло и другие способы интегрирования, подобные рассматриваемому, где приближенное значение интеграла зависит от некоторых случайных параметров, называют недетерминироьанными. Пусть 5дг(/) - приближенное значение интеграла /(/), получаемое при применении некоторого недетерминированного способа вычисления. Теорема (без доказательства). Существуют di{r, А), d > О, удовлетворяющие следующему соотношению. Для любого способа вычисления интеграла, где информация о подынтегральной функции используется лишь как информация об ее значениях в N точках, найдется функция f G Сг(А), для которой \SnU) - I{f)\ > di(r, A)/iV+i/2 (4) С помощью этой оценки заключаем, что правая часть равенства (1) не превосходит величины nn-AAsInf = [Asflif. Обозначив общее число узлов п* через N, получаем оценку DCSnU)) < А\,/Н+-/. (3) Отсюда на основании неравенства Чебышева (8.1) заключаем, что с вероятностью 1 - Г] выполняется неравенство \SnU} - 1{Л\ AsN-yy. Полученная оценка погрешности по порядку лучше, чем оценка погрешности 0{1/\/N) метода Монте-Карло. Мы получили оценку погрешности по вероятхюсти. Оказьшается, что для рассматриваемого метода можно получить и гарантированную оценку погрешности. Умножая (2) на ri~*, получаем неравенство § 11. О выборе метода решения задачи Обсудим схему решения одной задачи, где оказалось выгодным использование методов Монте-Карло, обсуждавшихся в предыдуш,ем параграфе. Требовалось вычислить серию рштегралов I{ai, а2, аз) = / f{P; 2, 01з)дР Jg при различных значениях параметров ai, а2, аз. Область интегрирования G содержалась в единичном трехмерном кубе; при этом условие принадлежности точки к области G задавалось громоздкой системой неравенств. Было ясно, что нельзя сделать замену независимых переменных с вероятностью d2, где 1/г - 1/г] + + l/r, а Sif) - приближенное значение интеграла. Следствием неравенства (4) является неравенство VD{SM) ds{r, A)/iV+V2, (5) которое, в частности, означает, что оценка (3) не может быть улучшена по порядку. Теорема (без доказательства). Можно указать способы интегрирования, для которых имеет место гарантированная оценка погрешности \SM-I{f)\d,{r,A)/N (6) и одновременно MiSivif)) = /(/), VD{SM) dbir, A)/iV+i/2 для всех f е Сг(А). Мы построили выше такой способ при ri = = rg = 1. Идея построения таких способов состоит в разбиении исходной области интегрирования на малые части и вычислении интеграла по малой части при помопщ некоторой случайной квадратурной формулы . Задача 2. Пусть Pni,...,ns ~~ случайная точка в кубе Ilni,...,ns (при тех же условиях на распределение и независимость точек Рп1,...,п, как в задаче 1). Обозначим через Pni,...,n точку, симметричную Рп1,...,п относительно центра куба Пт,... !) и положим Snu...,nAf) = ~{f{Pnu...,nJ + /(Pnb...,nJ), S!,{f) = E пь...,пЛ/)- Доказать, что для функции из класса С2,...,2(А) выполнены одновременно оценки (6), (7). (Заметим, что здесь г = 2/s.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [79] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |