|
| |
|
Слаботочка Книги Положим Если производные dy{ai,..., an) непрерывны, то bj{e) = bj{0) + о{1) и ду{а1,..., а*) + 0(1). Здесь выражение х = у + о{1) понимается в смысле: х - при р-> 0. Следовательно, Ло((/*) = А{у*) + о{р), где с>?/(с*,..., о,*) Л(4). При практической работе вместо оценки погрешности (3) обычно пользуются более простой, Boo6ni;e говоря неверной, оценкой y(ai,..., с ,) ~у*\ .4°(г/*), называемой линейной оценкой погрегимости. Задача 2. Доказать, что Ао{у*) - А{у*) = о(р), А{у*) - А{у*) - о[р). Расмотрим некоторые примеры определения величин А{у*), Ао{у*), А{у*) и произведем их сравнение. 1. у = а°, а* = 1, Л(а*) = 0,001. Тогда у* = 1 у = 10. а, fc(0) = 10, В= sup 10 а\ = 10,09..., а-10,001 A{if) = sup lai - 1 = 1,001 - 1 = 0,010045 ..., a-l$0,001 Ao{y*) = BA{a*) = 0,01009 ..., Л°(у*) = Ь(0) Л(о*) = 0,01. Здесь оценка погрешности через величину Ао{у*), предельно точная оценка (1) и линейная оценка (4) различаются несущественно. 2. у = ао, с* = 1, Л(а*) = 0,1. Тогда у* = 1, В= sup 10-0 = 10-1,1 = 23,..., а-10,1 А{г/)= sup ai°-l = l,li-l = l,5..., a-lKO,l Aoiy*) = ВА{аП = 2,3 ..., (y*) = b(0) Л(а*) = i; Здесь различие между этими оценками более заметно. 3. Проведем конкретную оценку погрешности в случае вычисления значений простейших функций. Пусть У = 7i i Н----+ ТпОп, где 7i,..-,7?i принимают значения +1 или -1; пусть известны оценки \aj - а*\ А(а). В данном конкретном случае Ь{в) = 7j, [ЬСб*)! = 1, поэтому А{у*) = Ао[у*) = = А{а1) + + А{а1). Поскольку, по определению, погрешностью называют любую оценку для у - у*, то это соотношение можно также записать в виде А{±а1 ± ± О = Aial) + + A{a*j. (5) Это равенство иногда формулируется в виде правила: предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погреш,ностей. Если погрешности в величинах a*j зависимы, то оценка (5) часто может быть улучшена. Рассмотрим простейший пример: ai = а, 02 = 1 - а: известно, что в обоих случаях а одно и то же; тогда независимо от погрешности в значении с сумма ci 4-02 равна 1 и погрешность суммы равна нулю. Пусть теперь у ~ а ... ап ; тогда при всех j имеем bj (0) = У*) и A{y*)A\y*) = J2\PM\~Vf\))-После деления на \у*\ получаем 1- 1-1 j=i I ji j=i По отношению к частным случаям y = ai-a2 или у = ai-a соотношение (6) иногда формулируют в виде правила: предельная относительная погрешность произведения или частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей. 4. Довольно часто возникает задача оценки погрешности с1)ункции, заданной неявно уравнением ai,.... On) =0. (7) Дифференцируя (7) по а-, имеем ду dttj dttj дг\ fdF С помощью этих величин можно получить линейную оценку погрешности (4). Вследствие зависимости производных dy/duj от самого значения у получение строгих оценок (1), (3) здесь довольно трудоемко. Часто рехпение задачи зависит от приближенно задаваемых параметров настолько сложным образом, что получение или использование явных формул для производных по этим параметрам практически неприемлемо из-за своей 1ромоздкости и трудоемкости. В такой ситуации для оценки этих производных целесообразно воспользоваться какими-либо приближегшыми формулами дис)ференцирования, например Так, производную решения дис)ференциального уравнения по начальному условию, в принципе, можно вычислить, интегрируя соответствующее уравнение в вариахщях, решением которого является эта производная. Однако часто разумнее воспользоваться предыдущей формулой. 5. Рассмотрим один наиболее типичный частный случай из п. 4. Имеется приближение у* к корню уравнения /(у) = а: требуется оценить его погрешность. Вычислим величину а* = fivl-При малых у* - у из равенства fiy)-f{y*) = a~a* следует, что f{y*){y~y*) о-а* и, таким образом, а - а* а - f(y*) В часто встречающемся случае а = О получаем f{y*) откуда да, \daj \ dyj > При заданных Oi,...,a* можно найти у* как корень уравнения (7), а затем значения 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |