|
| |
|
Слаботочка Книги так, чтобы область интегрирования G приобрела стандартный вид, где было бы возможным применение квадратурных формул высокого порядка точности. Поэтому пришлось вне области О продолжить / нулем и рассматривать исходную задачу как задачу вычисления интеграла /(01,02,03)=/ / / f{P; a-i, а2, a3)dxidx2dx3, Jo Jo Jo Г /(P; ai, 0:2, аз) при P £ G, /(P; cvi, a.2. 3) < . I 0 при P G. Подынтегральная функция оказалась теперь разрывной. Для вычисления интеграла были применены формулы прямоугольников и Гаусса. С целью контроля над точностью проводхипгсь расчеты с различным числом узлов интегрирования. Оказалось, что результаты расчетов медленно устанавливаются (сильно меняются при изменении числа узлов), что указывает на малую точность получаемых приближенных значений. При непосредственном применении метода Монте-Карло установление получаемых приближенных значений было еще хуже. Поэтому было принято решение применить для вычисления описанные выше способы уменьшения дисперсии путем разбиения области на части. Были опробованы оба описанных выше способа. Область интегрирования О 2,1, Х2, х 1 разбивалась на равные кубы с ребрами длиной 1/п, и далее применялись оба метода, рассмотренные в предыдущем параграфе. Как и в случае других квадратур, исследовалось установление результатов вычислений. Оказалось, что оба метода могут обеспечить требуемую точность вычислений при приемлемых затратах машинного времени. Во многих случаях вычисление интегралов высокой кратности или большой серии интегралов удается осуществить лишь за счет устранения повторения одинаковых вычислений. Решение рассматриваемой задачи представлялось сначала бесперспективным из-за большой трудоемкости проверки условия принадлежности узла Р области G; нахождение же каждого значения /(Р; Qi , Q2, Оз) требовало существенно меньшего объема вычислений. Так как все интегралы вычислялись по одной и той же области, то было принято решение применить следующий алгоритм. Куб О Жх, жг, жз 1 разбивался на кубши с длиной ребра 1/п, в каждом кубике выбиралась случайная точка Рщи проверялось условие принадлежности точки Рщобласти G, координаты всех точек Рп1,...,п, G G были записаны в памяти ЭВМ. Далее все интегралы серии заменяли суммами Е ;;¥/( °ь аз) р ...... ,ео с одними и теми же узлами. Отказ от проверки условия P,i ...,n € G при вычислении каждого интеграла привел к снижению требований на затраты машинного времени примерно в 100 раз. ( l-l/2\ ГЧ\( 9-1/2 \ oi, 02, з; - = / I J \ Oil, а2, оз, --, ж2, жз йжгажз, и применять метод Монте-Карло с разбиением области интегрирования только для вычисления интегралов /(oi, 02, 03; xi). Другой подход к решению задачи: разбить отрезок [О, 1] на отрезки [{q - 1)/т, q/m], на каждом из них выбрать случайную точку и положить /(ai, 02, аз) Нщ, 012, аг, д). Другим фактором, позволившим резко снизить затраты машинного времени, оказался следуюш,ий. Подынтегральная функция имела вид g{xi, ai)h{xi, Х2; aj, 0:2, 0:3), где вычисление каждого значения функции h требовало относительно малого числа элементарных операций ЭВМ по сравнению с вычислением каждого значения функции д. Поэтому была применена следующая схема вычислений. Все интегралы T{ai, 0:2, 0:3), соответствующие одному и тому же значению параметра cvi, вычислялись одновременно; благодаря этому каждое значение gixi, ai) вычислялось при расчете всей серии интегралов только один раз. Такая организация работы позволила довести затраты машинного времени при решении рассматриваемой задачи до приемлемых размеров. Анализ хода решения задачи, проведенный после окончания вычисления серии, показал ряд неиспользованных возможностей, которые предоставили бы дополнительные удобства как исполнителю, так и заказчику. С целью уменьшения затрат машинного времени заказчик старался уменьшить число М совокупностей значений параметров {а\, при которых требовалось вычислить значение интеграла. Наиболее трудоемкую часть при расчетах составляло вычисление значений функции g{xi, ai), поэтому общие затраты машинного времени были пропорциональны не числу М, а числу различных значений а\. Таким образом, общие затраты времени могли бы быть снижены также за счет удачного выбора совокупности {а\, а, 0:3). В рассматриваемой задаче имелся еще один неиспользованный резерв повышения точности. Трудоемкость рассматриваемого метода пропорциональна произведению числа раз.пичных значений а на число различных значений координат xi узлов интегрирования. Узлы интегрирования выбирались случайно, и поэтому число различных значений xi было очень большим. Дпя уменьшения этого числа можно бьшо бы пойти, например, по следующему пути: аппроксимировать исходный интеграл по формуле прямоугольников /(qi, 0-2, аз) У -I { ai, q2, аз; ~- Оба указанных выше метода имеют худшую скорость сходимости по сравнению с примененным методом, однако в этих методах вычисляется существенно меньше значений функции g{xi, qi). Из последних рассуждений видно, что при вычислении больших серий интегралов (как, впрочем, и в случае больших серий других задач) часто больший эффект достигается не за счет повышения качества метода при решении каждой из задач серии, а за счет лучшей организации вычислений. При применении процедуры, описанной в § 4, вычисление интеграла высокой кратности как бы сводилось к вычислению большого числа интегралов меньшей кратности. Поэтому при вычислении интегралов высокой кратности иногда можно использовать указанные выше резервы повышения эффективности в случае вычисления серий интегралов. Обратим внимание на следующую опасность, возникающую при одрю-временном поучении результата сразу по всей серии задач. Предъявляемая к решению совокупность задач соответствует какому-то реальному явлению. Может случиться, что ранее явление не обсчитывалось на ЭВМ и предъявляемая математическая модель не является удовлетворительной. Тогда в случае одновременного решения задач серии все результаты вычислений окажутся бесполезными. При последовательном решении задач можно уже после получения первых результатов обнаружить рассогласование математической модели с общей картиной явления. Такое рассогласование типично при решении новых задач, и обычно оно устраняется не сразу, а после большого числа пробных просчетов и совместного обсуждения модели заказчиком и исполнителем. Исполнитель имеет особые основания быть заинтересованным в обсуждении постановки задачи. Если исходная постановка задачи окажется неразумной, ему првдется потратить много времени на выбор нового алгоритма и написание новой программы. Участвуя в обсуждении, исполнитель может уяснить себе возможные варианты изменения постановок задачи и предусмотреть их при составлении программы решения задачи. В связи с этим при решении задач новых типов особенно важно, чтобы программа подразделялась на отдельные функциональные блоки, поддающиеся независимому изменению. Часто столкновение исходных позиций заказчика (обсчет гЛ)дробной модели) и исполнителя (минимальный объем работ) приводит к построению упрощенной модели явления, быстрый обсчет которой позволяет решить вопрос о целесообразности рассмотрения более сложной модели. Рассмотрим другой пример, относящийся к организации работы по выбору метода интегрирования в случае кратных интегралов. Часто вычисление интегралов по сложной области сводят к вычислению интегралов по области, являющейся прямым произведением областей простейшего вида: отрезков, параллелепипедов, лучей, бесконечных прямых, кругов, сфер, шаров и т. д. Для таких стандартных областей имеется достаточное количество совершенных ме- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |