|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 и квадратуры р{ш) k p{ijq) (2) здесь понимается квадратура / / fl(/, w)dwd/ V VdjA;,s(/j, и;,). Исследуем зависимость погрешности интегрирования от способа интегрирования и от числа узлов. Для исследовании поведения погрешности численного интегрирования по оси I выберем какую-то базовую квадратуру по единичной сфере: / pMd< ]fc°p(°); (3) имеется в виду, что число узлов то мало и в то же время выражения Р то G{1) = / д{1, и) da; и Gil) = у kl, 1 9=1 имеют одинаковый качественный характер поведения по I. Например, можно попытаться взять в качестве (3) квадратуру р{и>) dw и Y 2, з), где суммирование производится по 6 точкам пересечения единичной сферы с координатными осями Xi, Х2, Хз- тодов интегрирования, и после такого преобразования области интегрирования можно применить процедуру, описанную в § 4, или какую-либо другую, аналогичную ей. Пусть вычисляется интеграл /(/) = / f(xi, х-2, X3)dxidx2dx:i. Его удобно записать в виде /(/) = 11 9{1, и) dudl, где -единичная сфера, dw -элемент ее площади, д{1, и) = lfilwi, 1и>2, li-i), = (wi, W2, ts), wl +ljI + u)1 = 1. Предположим, что решено вычислять интеграл при помощи квадратур, являющихся прямым произведением квадратур по отрезку [1, 2] и по сфере Si. Под прямым произведением квадратуры lhii)diJ2Mij) (1) при п = п1, т1-2,... узлах, получаем некоторые величины Точно так же при числе уз.лов п = п[, п2, получаем приближения по формуле Симпсона 5,. Из рассмотрения поведения всех этих величин можно усмотреть значение предела к которому они стремятся. Далее, при каждом п среди всех приближений и 5°, с Tii, TiJ Ti выберем приближение Г , обеспечивающее лучшую точрюсть, и введем функцию <fi(n) = Г - / j погрешности численного интегрирования по оси I. Точно так же фиксируется некоторая базовая квадратура по переменной I (часто эта квадратура Гаусса с двумя узлами) и строится функция 7,(т) погрешности численного интегрирования по сфере и). Предположим, что суммарная погрешность есть R = (fii{n) + <fiuj{m). Если значения функции / вычисляются независимо, то трудоемкость метода пропорциональна тп. Минимизируя пт при заданном требовании на точность, чтобы ipiin) + ipujim) е, получаем искомые значения числа узлов по и то. В зависимости от того, какой квадратуре ~ Гаусса или Симпсона - отвечает данное п, выбираем соответствующую квадратуру. В случае сомнений в правомерности использования этой методики остается возможность проверить правильность результата, проведя дополнительное интегрирование с несколько отличными от tiq и то значениями пит. Приведем типичный пример подобной организациии выбора способа интегрирования по каждой из осей в случае большой серии интегралов 1Ю единичному s-мерному кубу. По каждой из осей применяется формула Гаусса, при выборе числа ее узлов по каждой из осей в качестве базовых квадратур по остальным осям берутся квадратуры Гаусса с двумя узлами. Дробление числа узлов по каждой из рассматривае{к1ых осей продолжается до тех пор, пока разность между двумя последующими приближениями не станет менее чем е s~. После определения таким образом нужного числа узлов п\ соответствующего каждой оси, производится вычисление интеграла с п*) узлами по каждой из осей. Из-за некоторой ненадежности описанного алгоритма обычно производится проверка правомерности его применения в случае данной серии интегралов: выбирается достаточно представительная под серия интегралов и для нее результаты расчетов по данному алгоритму сравниваются с результатами расчетов при несколько измененных значениях числа узлов по осям. Предположим, что для вычисления интеграла по оси I принято решение применить или формулу Гаусса, или формулу Симпсона. Последовательно применяя формулы Гаусса Литература 1. Бахвалов Н. С. Об оптимальных оценках скорости сходимости квадратурных процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло на классах функций. В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы.- М.: Наука, 1964. С. 5-63. 2. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука, 1975. 3. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. - М.: Наука, 1986. 4. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы.- М.: Наука, 1981. 5. Никифоров А. Ф., Суслов С. К., Уваров В. Б. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной.-М.: Hayici, 1985. 6. Никольский СМ. Квадратурные формулы.- М.: Наука, 1979. 7. Соболев СЛ. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |