|
| |
|
Слаботочка Книги = Глава 6 ====== Численные методы алгебры к численным методам алгебры традиционно относят численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, обращения матриц, вычисления определителей, нахождения собственных значений и собственных векторов матриц и нулей многочленов. При формальном подходе решение этих задач не встречает затруднений: решение системы можно найти, раскрыв определители в формуле Крамера; для нахождения собственных значений матрицы достаточно выписать характеристическое уравнение и найти его корни. Однако эти рекомендации встречают возражения со многих сторон. Так, при непосредственном раскрытии определителей решение системы с т неизвестными требует порядка т\т арифметических операций; уже при m = 30 такое число операций недоступно для современных ЭВМ. При сколь-нибудь больших m применение методов с таким порядком числа операций будет невозможно и в обозримом будущем. Другой причиной, по которой эти классические способы неприменимы даже при малых т, является сильное влияние на окончательный результат округлений при вычислениях. Уже при ш = 20 при расчетах на современных ЭВМ типична аварийная остановка из-за переполнения порядка чисел. Даже если такая остановка не происходит, результат вычислений часто далек от истинного значения из-за влияния вычислительной погрешности. Точно так же обсторгг дело при нахождении собственных значений матриц с использованием явного выражения характеристического многочлена. Методы решения алгебраических задач разделяются на точные, итерационные и вероятностные. Классы задач, для решения которы? обычно применяют методы этих групп, можно условно назвать соответственно классами задач с малым, средним и большим числом неизвестных. Изменение объема и структуры памяти ЭВМ, увеличение их быстродействия и развитие численных методов приводят к смещению границ применения методов в сторону систем более высоких порядков. В настоящее время точные методы обычно применяются для решения систем до порядка 10, итерационные - до порядка 10. При изучении итерационных процессов нам понадобятся понятия норм вектора и матрицы. Напомним определения основных норм в простран- EN=v/( (4) \ 3=1 a согласованными с ними нормами в пространстве матриц являются соответственно нормы 3=1 rn IHIbymax.A; (7) здесь и далее Лд - собственные значения матрицы D. Приведем вывод этих соотношений для вещественного случая. Поскольку, согласно (2), ЦЛхЦоо = max uijXj maxjoyl max maxajj max\xj\, 1Их, max Пусть max(y kyl) достигается при г = I; для вектора X = (sign(aa),..., sign(aim)) имеем ЦхЦоо = 1, 1Ихоо E°yj = (maxEl yi) ЦхЦоо- 3 j j Из этих соотношений следует (5). ствах векторов и матриц. Если в пространстве векторов х = (xi,..., Хт) введена норма х, то согласованной с пей нормой в пространстве матриц А называют норму И=8ирЛх/х. (1) Наиболее употребительны в пространстве векторов следующие нормы: ЦхЦоо = max \xj\, (2) infill = Е Е (maxEloijl) Е N1 IHxIli < max X 1 3 Пусть maxEl<yl достигается при j = L Для вектора x, у которого лишь одна компонента xi отлична от нуля, имеем г it г = (maxEl%l)El*.?l (maxEl°jl)ll i отсюда следует (6). Согласно определению 2 и (4), имеем ЦЛхЦз /(Лх, Лх) / (ЛЛх, х) А 2 = sup =SUpA --г- = 4/sup . X Х2 X У (Х, Х) Ух (Х, Х) Матрица АА симметричная, поскольку (АА) = А{А) = АА. Пусть матрица В симметричная, е1,...,ето- ортонормированная система ее собственных векторов, Xi,...,Xjn - соответствуюш,ие собствен- ные значения. Представим произвольный вектор х в виде Eii- Имеем (Бх, х) = (ECiei, ЕО Е!! i i г поэтому (Вх, х) < (niaxAjE cip = (maxAi)(x, х) (8) (Бх, х) (mmAi)(x, х). (9) В то же время {Bei, е)/(ег, е) = Aj. Из этих соотношений следует, что supife- = maxA,. (10) X (х, х) i Поскольку {ААх, х) = (Лх, Лх) О, то все Aj. 0. Полагая в (10) В = АА, получаем (ЛЛх,х) , . , supJ--г-=тах AlT/i =maxAiTa- (Х, х) г i Из полученных соотношений следует (7). Точно так же для нормы вектора, определяемой по формуле (3), имеем 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [82] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |