|
| |
|
Слаботочка Книги § 3. Метод простой итерации Простейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации. Система уравнений Лх = b (1) преобразуется к виду X = Бх -ь с, (2) и ее решение находится как предел последовательности х +1 = Рх + с. (3) Всякая система х = х-£)(Лх-Ь) (4) Имеет вид (2) и нри deiD фО эквивалентна системе (1). В то же время всякая система (2), эквивалентная (1), записывается в виде (4) с матрицей D = {Е- В)А-К Теорема (о достаточном условии сходимости метода простой итерации). Если ЦБ II < 1, то система уравнений (2) имеет единственное решение и Рассмотрим случай системы уравнений Ак = b с комплексными А и Ь. Пусть A = Ai+iA2, b = bi+ibi, x = xi + ?X2. Исходная система уравнений равносильна системе Cy = d (4) с вещественными С и d: Поэтому вместо непосредственного решения исходной задачи можно перейти к решению задачи (4) и применить для решения последней метод отражений. Однако возможен и другой путь - непосредственное применение метода отражений к исходной системе Лх = Ь. Здесь матрица отражения и = Е - 2ww*, W* = ..., w i) будет унитарной с собственными значениями вида Ас/ = е*. (Через z обозначено комплексное число, сопряженное с Z.) Задача 2. Перенести метод отражений на случай комплексных матриц. Задача 3. Исследовать метод отражений в случае его применения для решения систем уравнений с ленточной матрицей. итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии. Доказательство. Для всякого решения системы (2) имеет место х : Б х + с, поэтому справедливо неравенство х (1 - Б) с или х (1 - Б)~с. Отсюда следует существовшше и единственность реше1шя однородной системы х = i3x, а следовательно, и системы (2). Пусть X -решение системы (2). Из (2) и (3) получаем уравнение относительно погрешности г = х - X: г +1 = Вг . (5) Из (5) получаем равенство г = Br. (6) Отсюда следует, что г HiJUHr !! -> 0. Теорема доказана. Качество итерационного процесса удобно характеризовать скоростью убывания отношегшя погрешности после п итераций к начальной погрешности: г i? r° Sn = sup = sup = Можно гарантировать, что величина б е, если Б е, т.е. при n>n, = ln(e-i)/ln(i?-i). (7) Если существуют постоянные 7/3, -ур такие, что при х 5 О х/з/хи 7а/3, ха/хЬ 7/За, то нормы хс1 и х называются эквивалентными. Имеем Таким образом, если условие доказанной теоремы выполнено для нормы \\-\\а, то утверждение справедливо относительно любой эквивалентной ей нормы. Любые две нормы в конечномерном пространстве являн?гся эквивалентными. В частности, нормы xi, ЦхЦг, ЦхЦоо, вычисляемые соответственно по формулам (2), (3), (4), приведенным во введении к настоящей главе, эквивалентны между собой вследствие справедливости цепочки неравенств хоо < х2 < xi < mxoo. Лемма. Пусть все собственные значени.я Xi матрицы В лежат в круге \Х\ q, причем собственным значени.ям, по модулю равным q, соответствуют жорданоеы клетки размерности 1. Тогда существует матрица Л = D-BD с нормой ЦЛЦоо q- В-\Г]-В)В = V Л2 2 где ai,j+i принимают значения О или 1. После умножения на г] получим (Ai 12?? О \ О Аг 23?? ....../ Если Аг = q, то согласно условиям леммы, cij+i = 0. Отсюда следует, 1то Aj + \aii+iT]\ = q. Если Aj < q, то Ai + \aii+iv\ ,max А -\-T] = q. Таким образом, ЦЛЦоо = max (jAj + \aijiT]\) q. Теорема (о необходимом и достаточном условии сходимости метода простой итерации). Пусть система (2) имеет единственное решение. Итерационный процесс (3) сходит.с.я к решетью системы (2) при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы В по модулю меньше 1. Доказательство. Достаточность. Возьмем произвольное q в пределах шах Аг < q < 1. Условие леммы выполнено но отношению к этому q, поэтому суш,ествует матрица D такая, что ЦЛЦоо q при Л = DBD. Поскольку В = DAD~, то i? = DKD-D D-DKD- = DAD. Поэтому ЦР ооЦ15ЦооЦ15-Цоое -0 х - ХЦоо ЦГЦоо \\D-\\oo еЦх - ХЦоо О (8) при п -> оо. Следовательно, и х - Xi, х - ХЦг -> 0. Если Xi - координатные орты, х = (ж1,..., Хт), то х = Е - Пусть Ц - некоторая норма, тогда ЦхЦ $:1х4Цхли ЦхЦоо 5:цх. Доказательство. Положим т] = q - max Aj. Собствеппыми значениями Х<(? матрицы т]В будут г}~\г. Преобразуем матрицу ti~B к жордановой форме 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [87] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |