|
| |
|
Слаботочка Книги Суммарная вычислительная погрешность р = 2 Р жет оказаться большой не только из-за большой величины отдельных слагаемых, но и из-за того, что их много. Пусть В симметричная матрица и ЦБЦо = шахЛд = Ад < 1, е--соответствующий Ад нормированный собственный вектор. Предположим, что на каждом j-M шаге происходит округление /> = ре, где р порядка 2~*. Имеем равенство Рп = р№)-=рУ Поскольку число итераций берется таким, что 1, а = (Ад) , то можно считать, что р к. р/{1 - Ag). Таким образом, если Ад близко к 1, то суммарное влияние округлений на шагах интегрирования может оказаться довольно большим. Покажем, что вычислительная погрешность такого порядка является неизбежной. Предположим, что вместо системы (3.2) решается система х = Бх-Ьс-i-pei. Разность X - X решений этих систем удовлетворяет соотношенщо (X - X) = i?(X -A)+pei, отсюда X -Л = [E-B)pei = (1 -Ag)pei. Поэтому погрешность порядка (1 - Лд)~р является неустранимой; возмущише приближений, создаваемое в ходе итераций, сравнимо с неустранимой погрешностью. § 5. -процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости Рассмотрим вопрос об оценке погрешности приближенного решения системы уравнений. Если X* - приближенное решение системы АХ. = Ь, а X -точное решение этой системы, то можно написать равенство Х* - ХЦ = \\А~\АУС - Ъ)\\ \\А-\\ \\АУС - Ь, которое редко применяется из-за сложности оценки Поэтому нри практическом анализе погрешности приближений, получаемых итерационными методами, обычно вместо этой оценки используется рассматриваемая далее нестрогая, но более простая оценка погрешности, которая строится на основании дополнительной информации, получаемой в процессе вычислений. Поведение степеней матрицы В при а порядка т определяется во многом такими почти собственными векторами хл и почти собственными значениями Л. Задача 2. Построить почти собственный вектор хд, соответствующий значению ех, приведенному выше. А = (х -1 -Х -2, X -Х -1) Примем следующий критерий разумности практической оценки погрешности: v принимается за практическую погрешность приближения х , стремящегося к X при п -> оо, если iv -(x -X)i/x -Xi->0 при поо. (1) Ясно, что тогда v ~ х - Х. Рассмотрим метод простой итерации х + = i?x + с. Для краткости изложения ограничимся случаем, когда матрица В простой структуры (т.е. ее жорданова форма диагональна и поэтому она обладает полной системой собственных векторов). Пусть Л,;, г = 1,..., т, - собственные значения матрицы В, занумерованные в порядке убывания Aj, причем 1 > Ai > IA2I > Аз > Ат(, а вг, еII = 1, ~ соответствующие собственные векторы, образующие полную систему. Разложим вектор по базису ej : г = се . Тогда гО = х - X = i?V = Y.ii = iii + 0(А2Г). (2) Здесь и далее выражение х = у + 0(£ ) имеет следующий смысл: х - у = 0(£ ) при п -> оо. Далее в этом параграфе ЦхЦ-это ЦхЦг. Укажем способ построения приближения к вектору w = ciA ei на основании информации, получающейся в ходе вычислений. Согласно (2) имеем n-2 x = w A20(A2r), х -1 - X = w A--f 0(А2Г), x -X-w -fO(A2r). Вычитая друг из друга соседние соотношения, получим х -1 - х -2 = , (1 \-)Х- + 0(А2Г), х - х -1 = w (l - АГ)-Ь 0(А2Г). Отсюда (х - х -\ х - х -1) = w f 1 - АГР -Ь 0(iw 1А2Г), (х - - х -2, х - х -1) = iw 2 1 - А-АГ + 0(w 1А2Г). Положим ( ) (х -х -1,х -х -) § 5. -процесс практической оценки 273 Воспользуемся соотношениями (4) и в предположении ci ф О поделим числитель и знаменатель в выражении для Л на w p 1 - ЛрЛ] ; в результате получим 1 + 0 Поскольку w = hAir, (5) Ai = Ai+0(A2/Ai j. (6) Поделив второе из соотношений (3) на 1 - (а , получим l-(Ai)- l-(Ai )- Ai(aS -1) Из (5), (6) следует w {Ai - а}) 11 = 0(А2Г); поэтому Отсюда и из (2) получаем x -X = v + 0(A2r), где Vn = (х - х-1)/(1 - (aSV)- Заметим, что согласно (3), (6) v = ci [А!]** + 0(А2 ). Из этих равенств вытекает, что v удовлетворяет критерию (1), и поэтому его можно принять за практическую погрешность приближения х . В случае cj = = = О, c/+i ф О проведенные рассуждения останутся в силе, если Aj+i > Aj+2- Во всех соотношениях следует заменить лишь Аг, Cj, Bi при г = 1, 2 па Aj+i, cj+j, ej+i. Описанный способ получения оценки приближенного решения назьпзается 5-процессом. Если положить у** = х** - v**, то у** - X = 0(А2 ), и поэтому у , вообще говоря, является лучшим начальным условием для последующих итераций по сравнению с х**. Производя время от времени такие уточнения, иногда удается существенно уменьшить общее число итераций. Для справедливости приближенного равенства х - X V (7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [89] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |