|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 Из формулы (9) имеем 2(0) = дп1 ду (о*,а.*) ~ о * 1 * 1 - 2y*+al и, следовательно, Рассмотрим некоторую область ai Ь], \а2\ 62 изменения коэффициентов 01, 2- Из явного выражения корней ?/=-y±Vj-a2 следует, что корни явяляются непрерывными функциями коэс)фициентов, поэтому ?/(ai,0,2) - 1/(01,02)1 w(oi-ai, o2-a2); при (01,02), (0,02) из этой области, a;(Ai,A2) -> О при Ai, А2 -> 0. Правая часть в (11) стремится к ос при 2у* + 05 -> 0; поэтому линейная оценка погрешности при помош;и формулы (4) может оказаться в некоторых случаях сильно завышенной по сравиегшю с точной оценкой погрешности (3). Дело в том, что ранее предполагалась непрерывная дифференци-руемость y{ai,...,an) по аргументам (oi,..., o,j). Тогда погрешность у* оказывалась величиной того же порядка, что и погрешности аргументов А(ор. В случае, когда величина у* определяется неявным образом, при некоторых значениях параметров она оказывается недифференцируемой функцией аргументов о и характер оценки меняется. Пусть у* является двукратным корнем уравнения (7 при ci = а*, а2 - а*2. Разложим левую часть (7) в ряд Тейлора в окрестности точки (г/*, 01,02). Поскольку F(t/*, 01,02) = Fyiy*,al,a2) = О при у*-двукратном корне уравнения (7), то уравнение (7) примет вид d20o{y ~ y*f + cfoio(oi - Oi) -f-dooi(o2 - 02) -)----= 0, 6. Обратимся к оценке погрешности корней квадратного уравнения F{y. ai, 0.2) = + ai(/ + 02 = О (10) при заданных приближенных значениях коэффициентов of, 03 и их погрешностях A(oJ), А(о2). Пусть у* - решение уравнения у - у* = ±yAoio(oi - а) + flooi(o2 - 0-2) + о(р). Таким образом, погрешность приближенного значения корня оказалась величиной порядка 0[). Задача 3. Показать, что в случае, когда уравнение имеет корень кратности /с, погрешность корня имеет порядок 0[). § 6. Обратная задача Часто приходится решать обратную задачу: с какой точностью надо задать значения аргументов а,...,а,* функции у = j/(ai,..., & ), чтобы погрешность у (а*,..., а*) не превосходила заданной величины е? Пусть точки (ai,...,a ) и (а,..-,а*), соответствующие истигшым и приближенным значениям параметров uj, принадлежат некоторой вьшу- Тогда имеем оценку погрешности клой области G и Cj = sup y{ai,..., an) - yial,..., <J сД(а*). Любая совокупность (A(aj),..., А(о*()) абсолютных погрешностей, удовлетворяющих неравенству Y,CjAia*)e, обеспечивает требуемую точность. Если функция у зависит только от одгюго аргумента (п = 1), то имеем неравенство ciA(a) < е и для достижения требуемой точности достаточно взять A(oJ) = e/ci- В случае п > 1 иногда рекомендуют отвести погрешности каждого аргумента равную долю, т.е. выбрать А(о) из условия CjA(ap = е/п, т.е. А(а) = e/(cjn). В других случаях предлагают рзять все оценки погрешностей равными, максимально возможными, т.е. положить A(at) = = А ) = где S = e/{ci + + Сп). а отброшенные члены имеют порядок о(р). В случае уравнения (10) можно показать, что Отсюда Подставляя Xj в равенство cixi + С2Х2 - £, получим уравнение относительно Л: 1/№+1) /n w \V№+i) Видно, что л -> оо при е -> 0. Пусть di > с?2. Тогда при больших Л главным членом в левой части является первый; поэтому имеем приближенное равенство откуда следует 2 - 903 ci \ е У В простейших случаях можно последовать этим рецептам, однако в более сложных случаях целесообразно подойти к вопросу о выборе верхних границ для допустимых погрешностей аргументов А (а*) более аккуратно. Дело заключается в том, что достижение определенной точности в задании аргумента Cj может существенно зависеть от номера j. Тогда следует ввести в рассмотрение функцшо стоимости F{A{al),..., A{a*J) затрат на задание точки {al,...,a) с заданными абсолютными погрешностями координат А(а*),..., А(а*) и найти минимум функции F(xi,..., Хп) в области cixi -I-----f-c Xn е, О Xi,..., х- . Пусть он достигается в точке хЧ..... х- Далее следует положить А(а) = 4 j - i,...,n. В ряде типичных случаев функция F{xi,...,Xn) имеет вид п Fixi, ...,Xn) = J2 JT dj>0, j = l,..., n. Ясно, что искомое минимальное значение функции F{xi,...,Xn) достигается в некоторой точке (ж, ..., xfj плоскости Cixi-\-----h с ж = е. Рассмотрим случай п = 2. Составляем функцию Лагранжа Ф(Ж1, Х-2) = Ж2) -I- Л(С1.Т1 + С2Х2 - е) и, приравнивая нулю производные дФ/dxj, получим систему уравнений -diDix- + Лс1 = О, -d2D2X2~ + Лс2 = 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |