Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [97] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Покажем, что эта задача всегда разрешима единственным образом. Пусть

ЛA) = E4 A с( ) = 1 и г = Х:,е (3)

рде п ф О, i = 1,..., q, а е,; - собственные векторы А, соответствуюш,ие различным собственным значениям А. Представление (3) всегда возможно, так как матрица А симметрична и невырождена. Вектор г имеет вид

.к=0 ) 1=1 \А.=0 / г=г1 \А;=0

г=1 \А;=0 / \j=0 J

k,j=0 \i=l I

Мы иш,ем минимум этого выражения относительно коэффициентов с[ Приравнивая частные производные нулю, получим

= 2Е ( E4 f- - ) = =0, / = 1,..., п.

Таким образом, в точке минимума должны выполняться равенства

(г , Аг ) = О, Z = 0,...,n-1. (4)

Пусть п Ф q - \. Из курса линейной алгебры известно, что векторы г , Аг ,..., А-г образуют линейно независимую систему (пространство Крылова). Действительно, допустим противное. Тогда суш,е-ствуют постоянные со,..., c-i, не равные нулю одновременно, такие, что

Е-*! = О- Подставляя вместо г его разложение из (3), получим

9-1 9-1 7 7-1 7 9 / 7-1 \

EciAv = E>iT-i-i - EE-i}-i - E-i-i E4

1=0 j=0 j=\ i=0 j=l i=] \i=0

xxO + XciAifAx-b).

Обозначим через Lk линейную оболочку векторов г , Аг ,..., Аг . Из построения видно, что

г=Р,(А)геХь Jk.

Покажем, что г , г,...,г образуют базис в L . Доказательство проведем индукцией по п. Для п = О утверждение очевидно Предположим, что для п = к векторы г , г,...,г образуют базис в Lk (и, как следствие, являются линейно независимыми). Покажем, что система г , г,...,г+ также линейно независима. Предполагая противное.

получим

1 = 7гг\ где 70.

1=0 г=0

Тогда г * Е Lk- С другой стороны, в силу (4), вектор г+ ортогонален векторам г , Аг ,..., Аг , образующим базис в Lk, а значит и всем векторам из Lk- Так как по предположению г G Lk, то это возможно

Таким образом, так как О, то должны выполняться равенства

7-1

J2ici = 0, i = l,...,g, (5)

Т.е. коэффициенты Ci должны удовлетворять системе уравнений (5). Определитель матрицы системы (5) совпадает с определителем Вандер-монда и отличен от нуля, поскольку все Aj различны по предположению. Отсюда следует, что равенства (5) могут выполняться только при Со = = Cq-i = 0. Таким образом, векторы г°, Лг ,..., А~г° действительно образуют линейно независимую систему.

Многочлен Рп(Х) имеет п неизвестных коэффициентов (Ри(0) = 1); так как система линейных алгебраических уравнений (4) невырождена,

то коэффициенты с \ к = 1,..., п находятся из нее однозначно. Это означает, что поставленная задача всегда имеет единственное решение.

После нахождения коэффициентов с \ к = 1,...,п, значение х из (2) находится следующим образом. Имеем

Л-1г = х - X = Рп(Л)(х - X) = 534 А(х - X) =

= Хс( )л(х° - X) + х° - X = х° - X + fci )A~4>ix° - b),

k=i k=i

откуда следует

г -1 = Jc[ -)aV = Jc[ -Ur .

А:=0

Тогда по построению с ~а = Р 2(А), откуда с ~ = с *. А; =

О,...,п -2, и i-n-i = г?-2 противоречит ортогональности векторов

Предположим, что векторы г , г,..., г , Аг ~ не образуют линейно независимую систему. Тогда Аг ~ G L-i- С другой стороны,

Но по доказанному выше векторы г , Аг , А г линейно независимы

при nq-l и cZi ф О, т.е. Аг ! L i.

Полученное противоречие показывает, что векторы 1г , г, ...,г ~, Аг ~1 действительно образуют базис в L . Тогда вектор г € L может быть разложен по этой системе единственным образом

v=YkylnAv-\ (7)

fc=0

Так как по построению г ортогонален при j = О,..., п - 1 и (Аг -1,г-?) = (г - ArJ) =0 при j = 0,...,п-3, то из (7) следует, что 7fc = О, к = О,..., п - 3. Тогда (7) имеет вид

г = 7п-1г - + 7п-2г -2 Аг-\ (8)

лишь при г = О, что противоречит исходной посылке о линейной зависимости г , г,..., г . Полученное противоречие доказывает линейную независимость г , г...,г=+.

Так как г , Аг ,..., А ~г образуют базис в L i, то соотношения (4) означают, что вектор г ортогонален всему подпространству Ln-\, что в свою очередь может быть (по доказанному выше) записано в виде

(г , г) = О, / = О,..., п - 1. (б)

Покажем, что векторы г , г\...,г ~, Аг ~ также образуют базис в Ьп- Вектор г ~ по доказанному имеет вид

и этот вектор ортогонален векторам г , Аг ,..., А ~г. Коэффициент <п-\ равен нулю. Действительно, предполагая c-i ~ О получим

71-1 п-2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [97] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208