|
| |
|
Слаботочка Книги = г + 4 Аг , зп- 2, п - 1, Лг - = ХАг S3) лкО к=1 к=0 и условия (Лг ~, г ) = 0, п 2, получаем ро = 0. Тогда из (8) имеем г = (7.-1 + 1п-2)г + Ё4 Аг = Р (А)Г . Но Р (0) = 1, откуда 7и-1 + 7п-2 = 1, и уравнение (8) может быть переписано в виде г - 7п-1г - + (1 - 7n-i)r - + 7пАг -. Вводя обозначения jn-i - 1 = -х, 7 = получим окончательное соотношение, связываюш,ее невязки на трех соседних слоях г = г -1 -Ь a -i(r -i - г -2) -ь /3 -iAr -i. (9) Подставляя в (9) вместо его выражение Лх- - b и применяя к обеим частям равенства оператор Л~, получим х = х-+ ап-1 (х -1 - х -2) + Pn-i (Лх -1 - Ь). (10) По доказанному выше, метод (10) эквивалентен исходному методу (2), который определен однозначно. Отсюда следует, что коэффициенты n-ij Рп-1 находятся из условий (6) ортогональности невязок единственным образом; система уравнений для определения этих коэффициентов имеет вид (1 + an-i)\K-f+f3n-i\\r -\\l = О, На первом шаге, когда известно значение х и надо найти х из условия минимума функционала Р(х), получаем формулу .Метода наискорейшего градиентного спуска г1=гО-ЛгО (12) или, что то же самое, т.е. ао - О, Д, = [.02 1г о Из разложений lw i = (Aw , w ) = J2XiQl{X, max (A) = = \\Qn{A)f w°a (-A y w 2, Покажем конечность итерационного процесса (10), т.е. что за конечное число итераций при отсутствии огцибок округления мы получим точ- ное решение исходной системы (1). Пусть, как и ранее, г = Tjej, где - собственные векторы А, отвечаюнще различным собственным значениям. Обозначим через Lg i линейную оболочку векторов ei,...,eq. Так как все г. А; = О,..., <? - 1, находятся из соотношений (9), (12), то г* G Lq-i и образуют в нем ортогональный базис. Вектор £ --i и по доказанному выше ортогонален векторам г,...,г~ Это возможно только в случае г = 0. Таким образом, производя q итераций по формулам (13), (9), мы получим точное решение системы уравнений (1) при условии отсутствия ошибок округления. Оценим скорость сходимости метода. Для этого применим прием, который уже употреблялся при оценке скорости сходимости метода наискорейшего градиентного спуска. Пусть у = х и у - приближения, получаемые при решении уравнения (1) линейным оптимальным процессом. Тогда по доказанному в § 6 погрешности w = у - X удовлетворяют соотношению w = g (A)w , Qn{0) = h (14) и имеет место оценка Отсюда, в частности, следует, что Получим оценку скорости сходимости линейного оптимального про-цесса в других нормах. Пусть w = Егг- (Нетрудно видеть, что Щ = n/Xi.) Тогда W = g (A)w = J2-iQniA)ei = J2Qn{Xi)ei i=i i=\ <i 1 § 10. Итерационные методы с использованием спектрально-эквивалентных операторов Кроме методов простой итерации вида = х - а(Лх - Ь) (1) часто применяются итерационные методы Бх +1 = Бх - а(Лх - Ь), (2) где матрица В ф Е такова, что система уравнений .By = с легко может быть решена. Если соотношение (2) умножить на В~, то получится х +1 =х -аВ-1(Лх -Ь). т. е. iiw iuT:liw iu. (15) Так как lw i = (а(у - x), у - х) = [А-\Ау- - ь), Лу - ь) = z 2 где z = Aw , то из (15) следует оценка \K\\A-Z\\AA-r. (16) Применяя к обеим частям (14) матрицу А, получим уравнение, связы-ваюгцее невязки на п-м и нулевом шагах линейного оптимального процесса Z = g (A)z = QniAy. (17) По построению вектор г минимизирует функционал уд-1 среди векторов вида (2) или, что то же самое, х минимизирует F{y) среди векторов у таких, что г = у - x имеет вид (2). Тогда F(x ) F(y ), откуда Но так как r yi-i = Цх -хд, то из последнего соотношения получаем оценку скорости сходимости метода сопряженных градиентов - xiu х - xju- (18) Aq + Aq Замечание. Мы не обсуждали вопрос численной устойчивости нахождения параметров поскольку он требует специального рассмотрения. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 [98] 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |