|
| |
|
Слаботочка Книги Таким образом, итерационный процесс (2) равносилен методу простой итерации с матрицей Е - аВ~А. Рассмотрим случай, когда А > О и отношение максимального М и минимального р из собственных значений матрицы А велико. Тогда рассматривавшиеся ранее итерационные процессы сходятся медленно. Пусть В > О и Ml = sup (Ах, х) (Бх, х) т = inf (Ах, х) X (Бх, х) Предположим, что система уравнений с матрицей В легко решается и Mi/fii < М /. В случае, когда отношение Mi ti не очень велико, итерационные методы типа рассматриваемых в настоящем naparpacjie принято условно называть итерационными методами с использованием спектрально-эквивалентных опещторов (Л. В. Канторович, Е. Г. Дьяконов). В настоящее время эти итерационные методы называют методами с переобуславлива-нием, а матрицу (оператор) В переобуславливателем. Покажем, что при удачном подборе матрицы В метод итераций (2) обладает лучшей сходимостью по сравнению с простейшим методом (1). Точное решение X удовлетворяет равенству БХ = БХ-а(Ах-Ь); вычитая его из (2), получим уравнение относительно погрешности Бг +1-Бг -аАг . (4) Приведем матрицу В при помощи ортогонального преобразования к диагональному виду. Пусть В = UAU, где О \ ?7 - ортогональная матрица. Заметим, что все Ау > 0. Через \/В принято обозначать матрицу вида Очевидно, л/в > О, {VB) = VB, VbVB = В. Умножим обе части уравнения (4) слева на (\/В)~ и положим л/Бг - v . Получим равенство v + = v - aCv , где С = (VB)-A(VB)-K 1Г 2 Mi-piVvOi2 /Mi-piV /2 0 Так как функция М-р 1 - (р/М) М -Ь р ~ 1 + (р/М) монотонно убывает с уменьшением М/р, то скорость сходимости нового итерационного процесса быстрее, чем у (1). При окончательном решении вопроса о переходе от итераций по формулам (1) к итерациям по формулам (2) следует учесть количество арифметических операций, выполняемых во время этих итераций. Если шперацгш по формулам (2) требуют суш,ественно большего количества, операций, т,о такой переход может оказаться нецелесообшзным. Задача!. Пусть Г(Л) ~ количество арифметических операций, выполняемых во время одной итерации по формуле (1), Т{В) - количество арифметических операций, выполняемых во время одной итерации по формуле (2). Привести соображения в пользу того, что переход к итерациям по формуле (2) целесообразен, если м- р По аналогии с тем, как по итерационному методу (1) был построен метод (2), можно построить аналог любого из рассматривавшихся в §§ 8-10 методов. Вследствие соотношений А = , (у/В) = (у/В) , матрица С симметрична. Рассмотрим выражение w{x) = (Сх, х)/(х, х). Положив (-\/В) х = у, можем написать равенство w(x) = ги{л/Ву) = (Лу, у)/{Ву, у). Согласно (3) имеем w{x) G [pi, Mi], поэтому все собственные значения матрицы С также принадлежат отрезку [pi, М\]. При о = 2/(Mi + pi) собственные значения матрицы Е - аС по модулю не превосходят величины {М\-~ pLi)/{M\ + fjLi). Поэтому В - аСЦг (Ml - pi)/(Mi-Ь pi) и аналогично (6.13) имеем Напомним, что v (2 = \/iVBr, \/Вг ) = v(Br , г ). Если О < р2 (.By, у)/(у, у) М2 при всех у, то из (6) следует оценка i=i / Напишем равенство 1 jL \ E-YmC V , (7) положим v = у/Вт и умножим (7) слева на \/В. Получим уравнение Вг + = Вг -Y,ai{AB--y-Ar . Такое уравнение для погрешности соответствует итерационному процессу Вх +1 = Вх -J2ai{AB-y-{Ax - b). (8) Если произвести оптимизацию параметров щ так, чтобы оценка отношения норм v +42/v 2 была наилучшей, то так же, как в § 6, получится наилучший итерационный метод вида (8). Аналогом оптимального линейного итерационного метода (6.25), (6.26) будет итерационный процесс Ву +1 = By -I- w a; iB(y - y -i) - --(1 -I- Onu>n-i){Ay - b). Ml + Pi где On строятся no Mi и pi так же, как Un по М и р (см. (6.26)). Объединением метода (2) с методом наискорейшего спуска является следующий метод. Приближение х + ищется из соотношения Вх +1 = Вх - q (Ax - b). (9) При этом коэффициент а определятся из условия минимума функционала F(x +i) = (Лх +1, х +1) - 2(Ь, х +1). Из (9) получаем Wx +i В-= -(Лх - Ь). Поскольку dF(x +i) dn+v = 2(А(х - а В-(Лх - Ь)) - Ь, -ВАх - Ь)), то условие dF{Ti. ~*~ /dan = О является линейным уравнением относительно а . Аналог итерационного процесса (9.10) имеет вид jBx + = Вх + а (Вх - Вх -) + /3 (Ах - Ь). Пусть имеется итерационный процесс, где погрешности последующих приближений связаны равенством 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [99] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |