|
| |
|
Слаботочка Книги Ф равно полученному приращению угла, и в соответствии с формулами (8) и (9) имеем t Ф = г)+Г(йЛ = ОН-(Оо/Н- sin = ©о / + М sin Qt, (10) Если нет модуляции, то девиация частоты А(о = 0. индекс М = = О и угол ф = (Оо/. Выходит, что второе слагаемое вы- 0,8 0,6 0, 0,2 О -0,2 0,
М,рад Рис 1.10. Зависимость функций Бесселя от их аргумента. ражения (10) Msin Q/ возникает только при модуляции и оно выражает изменение фазового угла радиосигнала под действием управляющего сигнала (сообщения). Это означает также, что индекс частотной модуляции М является амплитудой приращения фазового угла и измеряется в радианах. На основании выражений (7) и (10) находим мгновенное значение ЧМ напряжения: и = f/ sin ф = f/ sin ((Оо / + М sin Qt) = = [sin (Oq / COS {M sin Qt) + cos (Oo / sin {M sin Qt)]. (11) Здесь мы сталкиваемся с тригонометрическими функциями от тригонометрических функций вида cos (Alsin Qt) и sin (Msin Qt), которые, как доказывается в курсе математики, раскладываются в ряды по синусам и косинусам углов, кратных ti,t. Коэффициенты 32 при синусах и косинусах ряда содержат так называемые функции Бесселя от индекса модуляции М. Пользуясь таким разложением, представляем выражение (И) в виде и = и, и о {м) sin (Оо i+j (м) sin (coo+fi) t - {М) sin ( о - fi) /+ + {Щ sin ((Oo + 2fi) / + Л (M) sin (cOo - 2fi) / + -1- Уз {M) sin ((Oo + 3Q) / - () sin ((Oo - 3Q) / + ...], (12) где - амплитуда результирующего сигнала; jq{M) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Jj (yVi) - (})ункция Бесселя первого рода первого порядка; JiiM) - ({)ункция Бесселя первого рода второго порядка; Уз (Л) - функция Бесселя первого рода третьего порядка. Зависимость функций Бесселя jq{M), Ji(M), jiM),... от индекса модуляции М показана на рис. 1.10. Чтобы убедиться в правильности разложения в ряд (12), сопоставим результаты вычислений по выражениям (И) и (12) для нескольких частных значений исходных величин. Например, при М = О коэффициент Jq{m)= 1, а коэффициенты Jx{m.) = Jim) = ,., = 0. С учетом этого из уравнения (12) находим и = Vfnsxn щ1. Такой же результат получается при подстановке индекса = О в формулу (11). Примем М = 1 раа = 57,3°5 (Оо< = (36-10 )° и = 30*. Тогда Уо(М) = = 0,7652; У1(Л1) = 0,4401; У2(Л)=0,1149; Уз(Л1) = 0,0196 и согласно формуле (И) ы = (/м [sin (36.10в)°со5 (57,3°sin30 )-bcos(36.10e)°sin (57,3* sin 30°)]= = sin 28°39 = 0,4795(;, а согласно формуле (12) uUm [0,7652 sin (36- 10e)°-fO,4401 sin (36-10 -f 30)°-0,4401 sin (36-10 30)° -f 0,1149 sin (36. lOe -f 60)°-f 0,1149 sin (36-10 - 60)°-b0,0196 -.in (36- Юв-Ь -t-90)° - 0,0196 sin(36.10 - 90)°] = [0,4401 sin 30° -f 0,4401 sin 30°+ + 0,1149 sin 60° 0,1149 sin 60° + 0,0196 sin 90° + 0,0196 sin 90°] = 0,4793£/m. Как видим, результаты вычислений очень близки. Если же учитывать все значения функции Бесселя независимо от их малости, то при любых значениях индекса модуляции М выражения (И) и (12) окажутся равнозначными. Из уравнения (12) можно сделать следующие выводы: 1. Радиосигнал, полученный в результате частотной модуляции синусоидальных колебаний несущей частоты coq гармоническим управляющим сигналом с частотой Q, имеет периодический несинусоидальный характер и соответственно состоит из ряда чисто синусоидальных колебаний: несущей частоты щ, первой пары боковых частот (Оо + fi, (Оо - fi, второй пары боковых частот Qo + 2Q, (Оо - 2Q, третьей пары боковых частот (Оо + 3Q, соо - 3fi и т. д. Спектральная диаграмма такого сигнала показана на рис. 1.11. Отметим, что спектр аналогичного AM сигнала содержит кроме несущей частоты только одну пару боковых частот. I , I I t а f f 5 а э 05 Os 0{ р< 05 См * +. +. i. i. * .5 * Э а э ; а Рис. 1.11. Спектральная диаграмма ЧМ сигнала. 2. Амплитуда составляющей несущей частоты равна UmJoiM), амплитуда первой пары боковых частот равна Umhiy второй - UmJzW третьей - UmJsW и т. д., но поскольку Um - общий множитель уравнения, то между амплитудами составляющих ЧМ сигнала существует такое же соот-Houienue, как между соответствующими функциями Бесселя. Например, коэффициент /о() определяет амплитуду несущей частоты, коэффициент Ji{M) - амплитуду первой пары боковых частот, JziM) - второй пары и т. д. 3. Теоретически спектр ЧМ сигнала имеет бесконечно много пар боковых частот, но обычно пренебрегают теми составляющими, амплитуда которых меньше 0,1 амплитуды результирующего радиосигнала Um- При этом условии ши-рина спектра имеет конечное значение. Если модуляция отсутствует iUym = 0), то нет девиации частоты (Асо = 0) и индекс модуляции М = = 0. В этом случае, как было показано, и = UmSin coq/, т. е. при отсутствии частотной модуляции радиосигнал представляет собой чисто синусоидальные колебания несущей частоты щ, амплитуда которых Um такая же, как и всего модулированного радиосигнала. Если М<1, то можно пренебречь всеми коэффициентами, порядок которых выше первого. Следовательно, такой ЧМ сигнал, как и AM сигнал, содержит колебания несущей частоты и первой пары боковых частот. При увеличении индекса модуляции до М = 2 функции Бесселя принимают значения: Jo{M) = 0,22; Ji{M) = 0,58; J2{M) = = 0,35; Уз(М) = 0,13, и согласно формуле (12) и = 6 J0,22sin (Оо/ + 0,58sin ((Оо + Q)t - 0,58sin ((Оо - Q)t + -f 0,35 sin ((Оо + 2Q)t + 0,35sin {щ - 2Q)t + 0,13sin + ЗЙ)/- - 0,13sin ((Oo-ЗЙ)/1, т. е. амплитуда несущей частоты уменьшилась до 0,22/7. но в спектре появились три пары боковых частот. При М = А спектр содержит пять пар боковых частот. Исследование более полных графиков или таблиц функции Бесселя от М показывает, что при М = 7 наблюдается восемь пар боковых частот, при М = 20 - двадцать одна пара и т. д. Легко заметить, что если М 1, то число пар боковых частот равно М + 1, и так как интервал между соседними линиями спектра равен частоте управляющего сигнала, то ширина спектра ЧМ сигнала А(0сп = 2(М+ 1)Q2MQ. (13) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||